Derivada Implícita

Derivada implícita é um conceito fundamental em cálculo que permite encontrar a derivada de uma função definida implicitamente, ou seja, quando a relação entre as variáveis não pode ser expressa explicitamente. Este método é particularmente útil em situações onde a função $y$ depende de $x$ de maneira não-linear e complexa.

Consideremos um exemplo simples: a equação do círculo

x^{2} + y^{2} = 100.

Neste caso, $y$ não pode ser expresso diretamente em termos de $x$ . No entanto, podemos encontrar $\frac{d y}{d x}$ usando derivadas implícitas.

Para aplicar o método das derivadas implícitas, devemos diferenciar ambos os lados da equação com relação a $x$ , lembrando que $y$ é uma função de $x$ . Portanto, quando derivamos termos envolvendo $y$ , devemos usar a regra da cadeia:

\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (y^{2}) = \frac{d}{d x} (100) .

A derivada de $x^{2}$ com relação a $x$ é simplesmente $2 x$ . Para o termo $y^{2}$ , aplicamos a regra da cadeia:

2 x + 2 y \frac{d y}{d x} = 0.

Isolando $\frac{d y}{d x}$ , obtemos

\frac{d y}{d x} = - \frac{x}{y} .

Este resultado nos dá a derivada implícita da função definida implicitamente pelo círculo.

Outro exemplo interessante é a equação exponencial $e^{x y} + x^{2} - y^{2} = 5$ . Aqui, também aplicamos as regras de derivação:

\frac{d}{d x} (e^{x y}) + \frac{d}{d x} (x^{2}) - \frac{d}{d x} (y^{2}) = \frac{d}{d x} (5) .

Usando a regra da cadeia para $e^{x y}$ e a regra do produto, temos:

e^{x y} (y + x \frac{d y}{d x}) + 2 x - 2 y \frac{d y}{d x} = 0.

Isolando $\frac{d y}{d x}$ , obtemos

\frac{d y}{d x} = \frac{- e^{x y} (y + x) - 2 x}{- 2 y} .

Exemplo

Determinaremos as derivadas parciais $\frac{\partial z}{\partial x}$ e $\frac{\partial z}{\partial y}$ para a função implícita:

x^{3} + y^{3} + z^{3} + 6 x y z = 1

Derivada Parcial $\frac{\partial z}{\partial x}$

Aplicando a diferenciação implícita em relação a $x$ :

Derivada de $x^{3}$ em relação a $x$ :

\frac{d}{d x} (x^{3}) = 3 x^{2}

Derivada de $y^{3}$ em relação a $x$ (com $y$ constante):

\frac{d}{d x} (y^{3}) = 0

Derivada de $z^{3}$ usando a regra da cadeia:

\frac{d}{d x} (z^{3}) = 3 z^{2} \frac{\partial z}{\partial x}

Derivada de $6 x y z$ (produto de funções, considerando $y$ constante e $z$ função de $x$ ):

\frac{d}{d x} (6 x y z) = 6 (y z + x y \frac{\partial z}{\partial x})

Somando as derivadas:

3 x^{2} + 0 + 3 z^{2} \frac{\partial z}{\partial x} + 6 (y z + x y \frac{\partial z}{\partial x}) = 0

Expandindo:

3 x^{2} + 3 z^{2} \frac{\partial z}{\partial x} + 6 y z + 6 x y \frac{\partial z}{\partial x} = 0

Agrupando os termos que contêm $\frac{\partial z}{\partial x}$ :

(3 z^{2} + 6 x y) \frac{\partial z}{\partial x} = - 3 x^{2} - 6 y z

Isolando $\frac{\partial z}{\partial x}$ :

\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{- 3 x^{2} - 6 y z}{3 z^{2} + 6 x y}

Agora, colocando o fator $3$ em evidência no numerador e no denominador:

Numerador:

- 3 x^{2} - 6 y z = - 3 (x^{2} + 2 y z)

Denominador:

3 z^{2} + 6 x y = 3 (z^{2} + 2 x y)

Simplificando:

\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{- 3 (x^{2} + 2 y z)}{3 (z^{2} + 2 x y)} = \frac{- (x^{2} + 2 y z)}{z^{2} + 2 x y}

Derivada Parcial $\frac{\partial z}{\partial y}$

Aplicando a diferenciação implícita em relação a $y$ :

Derivada de $x^{3}$ em relação a $y$ :

\frac{d}{d y} (x^{3}) = 0

Derivada de $y^{3}$ :

\frac{d}{d y} (y^{3}) = 3 y^{2}

Derivada de $z^{3}$ usando a regra da cadeia:

\frac{d}{d y} (z^{3}) = 3 z^{2} \frac{\partial z}{\partial y}

Derivada de $6 x y z$ :

\frac{d}{d y} (6 x y z) = 6 (x z + x y \frac{\partial z}{\partial y})

Somando as derivadas:

0 + 3 y^{2} + 3 z^{2} \frac{\partial z}{\partial y} + 6 (x z + x y \frac{\partial z}{\partial y}) = 0

Expandindo:

3 y^{2} + 3 z^{2} \frac{\partial z}{\partial y} + 6 x z + 6 x y \frac{\partial z}{\partial y} = 0

Agrupando os termos com $\frac{\partial z}{\partial y}$ :

(3 z^{2} + 6 x y) \frac{\partial z}{\partial y} = - 3 y^{2} - 6 x z

Isolando $\frac{\partial z}{\partial y}$ :

\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{- 3 y^{2} - 6 x z}{3 z^{2} + 6 x y}

Colocando o fator $3$ em evidência:

Numerador:

- 3 y^{2} - 6 x z = - 3 (y^{2} + 2 x z)

Denominador:

3 z^{2} + 6 x y = 3 (z^{2} + 2 x y)

Simplificando:

\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{- 3 (y^{2} + 2 x z)}{3 (z^{2} + 2 x y)} = \frac{- (y^{2} + 2 x z)}{z^{2} + 2 x y}

Resultado final

As derivadas parciais são:

\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{- (x^{2} + 2 y z)}{z^{2} + 2 x y} e \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{- (y^{2} + 2 x z)}{z^{2} + 2 x y}

Exemplo

Derivada Parcial ∂z∂x

Derivada Parcial ∂z∂y

Resultado final

Derivada Parcial $\frac{\partial z}{\partial x}$

Derivada Parcial $\frac{\partial z}{\partial y}$