Derivadas Parciais

Derivadas parciais permitem a análise de funções com múltiplas variáveis, permitindo estudar como uma função muda quando apenas uma das suas variáveis é alterada, mantendo as outras constantes.

Consideremos uma função $f(x,y)$ que depende de duas variáveis, $x$ e $y$. A derivada parcial de $f$ com respeito a $x$, denotada por $\frac{\partial f}{\partial x}$, representa o ritmo de mudança da função em relação à variável $x$, considerando que $y$ é mantido constante. Analogamente, a derivada parcial com respeito a $y$, denotada por $\frac{\partial f}{\partial y}$, mede como a função muda quando $y$ varia e $x$ permanece inalterado.

Por exemplo, considere a função $f(x,y)=x^2+3xy-4y^2$. A derivada parcial de $f$ com respeito a $x$ é:

Aqui, observamos que a variável $y$ é tratada como uma constante durante o cálculo da derivada parcial.

Analogamente, a derivada parcial de $f$ com respeito a $y$ é:

Neste caso, $x$ é considerado constante durante o cálculo da derivada parcial.

Regra Geral

Quando você deriva uma função $f(x,y,z,\dots )$ em relação a uma variável (por exemplo, $x$), as outras são tratadas como constantes.

Derivada Parcial com Respeito a $x$

A derivada parcial de $f$ com respeito a $x$, denotada por $\frac{\partial f}{\partial x}$, representa o ritmo de mudança da função no sentido do eixo $x$. Geometricamente, ela pode ser interpretada como a inclinação da reta tangente ao gráfico de $f$ na direção paralela ao plano $y=c$, onde $c$ é uma constante. Em outras palavras, se você fixar um valor para $y$, a derivada parcial $\frac{\partial f}{\partial x}$ mede como a função varia quando $x$ muda.

Exemplo:
Considere a função $f(x,y)=x^2+y^2$. A derivada parcial com respeito a $x$ é:

Se fixarmos $y=1$, a função reduz-se a uma curva no plano $y=1$:

e a derivada parcial $\frac{\partial f}{\partial x}{|}_{y=1}=2x$ descreve a inclinação dessa curva no ponto de abscissa $x$.

Derivada Parcial com Respeito a $y$

Analogamente, a derivada parcial de $f$ com respeito a $y$, denotada por $\frac{\partial f}{\partial y}$, representa o ritmo de mudança da função no sentido do eixo $y$. Geometricamente, ela é a inclinação da reta tangente ao gráfico de $f$ na direção paralela ao plano $x=c$.

Exemplo:
Continuando com a função $f(x,y)=x^2+y^2$, a derivada parcial com respeito a $y$ é:

Se fixarmos $x=1$, a função reduz-se a uma curva no plano $x=1$:

e a derivada parcial $\frac{\partial f}{\partial y}{|}_{x=1}=2y$ descreve a inclinação dessa curva no ponto de ordenada $y$.

Derivadas Parciais e Superfícies

A combinação das derivadas parciais pode fornecer informações sobre o comportamento geral da superfície. Por exemplo, o gradiente de uma função multivariável é um vetor que contém as derivadas parciais em cada direção.

Exemplo:
Para a função $f(x,y)=x^2+y^2$, o gradiente é:

Aplicações Práticas

Derivadas parciais são fundamentais em diversas áreas da ciência e engenharia. Por exemplo, na física, elas podem ser usadas para modelar a velocidade de um objeto em movimento no espaço multidimensional; na economia, para analisar como mudanças nas variáveis econômicas afetam o custo ou a receita.

Essa interpretação geométrica ajuda a visualizar e compreender melhor as funções multivariáveis e suas propriedades.

Exemplo 1: Função Simples com Duas Variáveis

Seja:

$f(x,y)=x^{2}y+4y^3$

Derivada Parcial em Relação a $x$

• y é constante, então:
• $x^{2}y\to \text{deriva como }2xy$
• $4y^3\to \text{deriva como }0$ (constante em x)

Resultado:

Derivada Parcial em Relação a $y$

• $x^2$ é constante agora
• $x^{2}y\to x^2$
• $4y^3\to 12y^2$

Resultado: