Diferenciabilidade de uma Função

A diferenciabilidade de uma função real de uma variável em um ponto $x_0$ é definida pela existência de um número real $L$ tal que:

Esse limite expressa que a função $f$ pode ser bem aproximada, em uma vizinhança de $x_0$, por uma função linear de inclinação $L$, que é exatamente a derivada $f^{\prime }(x_0)$. Isso significa que a reta tangente ao gráfico de $f$ no ponto $(x_0,f(x_0))$ tem coeficiente angular $L$.

A função é diferenciável em um intervalo se for diferenciável em todos os seus pontos. Vale destacar que:

• Se $f$ é diferenciável em $x_0$, então $f$ é contínua em $x_0$.

• O recíproco não é verdadeiro: uma função pode ser contínua em $x_0$ e não ser diferenciável nesse ponto.

  Exemplo clássico: $f(x)=|x|$ é contínua em todo $\mathbb{R}$, mas não é diferenciável em $x=0$.

Para uma função de duas variáveis, $f:{\mathbb{R}}^2\to \mathbb{R}$, dizemos que ela é diferenciável em um ponto $(x_0,y_0)$ se existem números reais $A$ e $B$ tais que:

com:

Os números $A$ e $B$ correspondem às derivadas parciais da função em $(x_0,y_0)$:

Ou seja, a função $f$ é diferenciável em $(x_0,y_0)$ se ela pode ser bem aproximada por seu plano tangente naquela vizinhança, com um erro $r(x,y)$ que é desprezível em comparação com a distância euclidiana entre $(x,y)$ e $(x_0,y_0)$.

Teorema Da Diferenciabilidade (Funções de Duas variáveis)

Se $f:{\mathbb{R}}^2\to \mathbb{R}$ possui as derivadas parciais $\frac{\partial f}{\partial x}$ e $\frac{\partial f}{\partial y}$ em uma vizinhança de $(x_0,y_0)$, e essas derivadas parciais são contínuas em $(x_0,y_0)$, então $f$ é diferenciável em $(x_0,y_0)$.

Esse resultado garante que a continuidade das derivadas parciais é uma condição suficiente, mas não necessária, para a diferenciabilidade.

Exemplo:

Considere a função:

As derivadas parciais são:

Essas derivadas são contínuas em todo o plano ${\mathbb{R}}^2$, logo, pelo teorema da diferenciabilidade, $f$ é diferenciável em todo ${\mathbb{R}}^2$.

A aproximação linear de $f$ em $(x_0,y_0)$ é:

e o termo de erro $r(x,y)$ satisfaz: