Diferencial de Uma Função

Diferencial de Uma Função para Uma Variável

O diferencial de uma função $f (x)$ de uma variável é uma medida aproximada da mudança na função quando a variável independente sofre uma pequena variação. Matematicamente, o diferencial de $f$ em relação a $x$ é denotado por $d f$ e está dado por:

d f = f^{'} (x) d x

Aqui, $f^{'} (x)$ representa a derivada da função $f (x)$ com respeito à variável $x$ , e $d x$ é uma pequena variação na variável $x$ . O diferencial $d f$ fornece uma aproximação linear do incremento da função $f$ quando $x$ sofre uma pequena mudança.

Exemplo:

Considere a função $f (x) = x^{2} + 3 x - 5$ . A derivada desta função é:

f^{'} (x) = 2 x + 3

Portanto, o diferencial de $f$ em relação a $x$ é:

d f = (2 x + 3) d x

Se $x = 1$ e $d x = 0.1$ , então:

d f = (2 (1) + 3) (0.1) = 5 (0.1) = 0.5

Diferencial de Uma Função para Duas Variáveis

Para funções com duas variáveis, o diferencial é uma generalização do conceito anterior. Considere a função $f (x, y)$ de duas variáveis. O diferencial de $f$ em relação às variáveis $x$ e $y$ é dado por:

d f = \frac{\partial f}{\partial x} d x + \frac{\partial f}{\partial y} d y

Aqui, $\frac{\partial f}{\partial x}$ e $\frac{\partial f}{\partial y}$ são as derivadas parciais de $f$ com respeito a $x$ e $y$ , respectivamente. $d x$ e $d y$ representam pequenas variações nas variáveis $x$ e $y$ , respectivamente.

Exemplo:

Considere a função $f (x, y) = x^{2} + 3 x y - 4 y^{2}$ . As derivadas parciais são:

\frac{\partial f}{\partial x} = 2 x + 3 y e \frac{\partial f}{\partial y} = 3 x - 8 y

Portanto, o diferencial de $f$ é:

d f = (2 x + 3 y) d x + (3 x - 8 y) d y

Se $x = 1$ , $y = 2$ , $d x = 0.1$ , e $d y = 0.2$ , então:

\begin{aligned} d f & = (2 (1) + 3 (2)) (0.1) + (3 (1) - 8 (2)) (0.2) \\ = (2 + 6) (0.1) + (3 - 16) (0.2) \\ = 8 (0.1) + (- 13) (0.2) \\ = 0.8 - 2.6 \\ = - 1.8 \end{aligned}