Plano Tangente

O plano tangente é uma aplicação direta do cálculo diferencial. Ele representa um plano que toca (ou seja, é tangente) a uma superfície em um ponto específico.

Definição Matemática

Seja $z = f (x, y)$ uma função de duas variáveis definida no ponto $(x_{0}, y_{0}, z_{0})$ . O plano tangente ao gráfico dessa função no ponto $(x_{0}, y_{0}, z_{0})$ é dado por:

z - z_{0} = f_{x} (x_{0}, y_{0}) (x - x_{0}) + f_{y} (x_{0}, y_{0}) (y - y_{0})

Derivadas Parciais

$f_{x} (x_{0}, y_{0})$ é a derivada parcial de $f$ em relação a $x$ , avaliada no ponto $(x_{0}, y_{0})$ .
$f_{y} (x_{0}, y_{0})$ é a derivada parcial de $f$ em relação a $y$ , avaliada no ponto $(x_{0}, y_{0})$ .

Exemplo

Considere a função $z = x^{2} + y^{2}$ . Para encontrar o plano tangente nesse ponto, precisamos calcular as derivadas parciais:

f_{x} (x, y) = 2 x e f_{y} (x, y) = 2 y

No ponto $(1, 1, 2)$ (pois $z = 1^{2} + 1^{2} = 2$ ), temos:

f_{x} (1, 1) = 2 e f_{y} (1, 1) = 2

Portanto, o plano tangente é dado por:

z - 2 = 2 (x - 1) + 2 (y - 1)

Simplificando, obtemos:

z = 2 x + 2 y - 2

Equações Diferenciais e Derivadas Implícitas

Equação Diferencial Implícita

Uma equação diferencial implícita é uma relação entre as variáveis $x$ , $y$ e suas derivadas, que não pode ser facilmente resolvida para a função $y (x)$ .

Exemplo de Derivada Implícita

Considere a equação:

x^{2} + y^{2} = 1

Para encontrar $\frac{d y}{d x}$ , usamos a regra da cadeia e derivamos ambos os lados com respeito a $x$ :

\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (y^{2}) = \frac{d}{d x} (1)

Aplicando as regras de derivação, obtemos:

2 x + 2 y \frac{d y}{d x} = 0

Resolvendo para $\frac{d y}{d x}$ , temos:

\frac{d y}{d x} = - \frac{x}{y}

Aplicação ao Plano Tangente

Para encontrar o plano tangente a uma superfície definida implicitamente, usamos as derivadas implícitas. Seja $F (x, y, z) = 0$ a equação da superfície. O gradiente de $F$ , $\nabla F$ , é normal ao plano tangente no ponto $(x_{0}, y_{0}, z_{0})$ .

O vetor normal ao plano tangente é:

\nabla F (x_{0}, y_{0}, z_{0}) = (\frac{\partial F}{\partial x}, \frac{\partial F}{\partial y}, \frac{\partial F}{\partial z})

O plano tangente pode então ser escrito como:

\frac{\partial F}{\partial x} (x_{0}, y_{0}, z_{0}) (x - x_{0}) + \frac{\partial F}{\partial y} (x_{0}, y_{0}, z_{0}) (y - y_{0}) + \frac{\partial F}{\partial z} (x_{0}, y_{0}, z_{0}) (z - z_{0}) = 0