Regras da Cadeia

Imagine que você tem uma função $z$ , e ela depende de uma variável $x$ . Só que, por sua vez, $x$ também depende de outra variável, que é $y$ . Ou seja, $z$ é afetado por $x$ , e $x$ é afetado por $y$ — logo, $z$ também depende de $y$ , mesmo que de forma indireta.

É aí que entra a regra da cadeia: ela nos ajuda a entender como uma mudança em $y$ influencia $z$ , passando por $x$ no caminho. Esse tipo de raciocínio é comum quando lidamos com funções compostas, ou seja, funções dentro de funções.

Um Exemplo Prático

Suponha que você tenha:

$z = f (x, y)$ (uma função que depende de $x$ e $y$ )
$x = g (y)$ (ou seja, $x$ depende de $y$ )

Você quer saber: “Se eu mudar um pouquinho o valor de $y$ , o que acontece com $z$ ?”

A resposta é dada pela regra da cadeia:

\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial z}{\partial x} \cdot \frac{\partial x}{\partial y}

Esse cálculo diz que você precisa ver:

Quanto $z$ muda em relação a $x$ ( $\frac{\partial z}{\partial x}$ ), e
Quanto $x$ muda em relação a $y$ ( $\frac{\partial x}{\partial y}$ )

Multiplicando essas duas coisas, você obtém quanto $z$ muda em relação a $y$ .

Fórmula Específica

A fórmula:

\frac{\partial z}{\partial y} = - \frac{f_{x}}{f_{y}}

parece diferente, mas ela aparece em casos bem específicos. Ela sugere que a relação entre $x$ e $y$ é tal que a mudança em um “anula” a do outro, mantendo $z$ constante — por isso o sinal de menos.

Isso acontece, por exemplo, em situações onde você tem uma equação implícita (tipo $f (x, y) = c$ , com $c$ constante). Nesses casos, $z$ não está explicitamente definido como função de $x$ e $y$ , mas mesmo assim é possível deduzir como uma variável afeta a outra.