Coordenadas Cilíndricas

As coordenadas cilíndricas são um sistema de coordenadas ortogonais que estendem a ideia das coordenadas polares para três dimensões. Elas são úteis em situações onde a simetria do problema é melhor descrita em termos cíclicos, como em problemas de física e engenharia.

Definição

Em um sistema de coordenadas cilíndricas $(r, θ, z)$ , cada ponto no espaço é especificado por três valores:

$r$ : A distância do ponto ao eixo $z$ . É semelhante à coordenada radial em coordenadas polares.
$θ$ : O ângulo entre o eixo $x$ positivo e a projeção do ponto no plano $x y$ , medido em radianos. Geralmente, $θ \in [0, 2 π)$ .
$z$ : A coordenada vertical, que é a mesma que na coordenada cartesiana.

Relação com as Coordenadas Cartesianas

As coordenadas cilíndricas estão relacionadas às coordenadas cartesianas $(x, y, z)$ pelas seguintes equações:

\begin{aligned} x & = r \cos (θ) \\ y & = r \sin (θ) \\ z & = z \end{aligned}

Conversamente, as coordenadas cilíndricas podem ser expressas em termos de coordenadas cartesianas como:

\begin{aligned} r & = \sqrt{x^{2} + y^{2}} \\ θ & = \arctan (\frac{y}{x}) \\ z & = z \end{aligned}

Aplicações Práticas

Física: Em problemas de física, as coordenadas cilíndricas são úteis para descrever sistemas com simetria axial, como em rotação ou fluxo de fluidos ao redor de um eixo.
Engenharia: Na engenharia mecânica, elas podem ser usadas para analisar estruturas cilíndricas, como tubos ou cilindros.
Matemática Aplicada: Em cálculos envolvendo integrais múltiplas em geometrias cilíndricas.

Exemplo

Considere um ponto no espaço com coordenadas cartesianas $(x, y, z) = (2 \sqrt{3}, 6, 4)$ . Convertendo para coordenadas cilíndricas:

$r$ : $r = \sqrt{x^{2} + y^{2}} = \sqrt{(2 \sqrt{3})^{2} + 6^{2}} = \sqrt{12 + 36} = \sqrt{48} = 4 \sqrt{3}$
$θ$ :

θ = \arctan (\frac{y}{x}) = \arctan (\frac{6}{2 \sqrt{3}}) = \arctan (\sqrt{3}) = \frac{π}{3}

$z$ :

z = 4

Portanto, as coordenadas cilíndricas do ponto são $(r, θ, z) = (4 \sqrt{3}, \frac{π}{3}, 4)$ .

Derivadas Parciais e Gradiente

Em coordenadas cilíndricas, a forma das derivadas parciais é diferente daquela em coordenadas cartesianas. Por exemplo, o gradiente de uma função $f (r, θ, z)$ é dado por:

\nabla f = \frac{\partial f}{\partial r} e_{r} + \frac{1}{r} \frac{\partial f}{\partial θ} e_{θ} + \frac{\partial f}{\partial z} e_{z}

Onde $e_{r}$ , $e_{θ}$ , e $e_{z}$ são os vetores unitários na direção das coordenadas cilíndricas.