Coordenadas Esféricas

As coordenadas esféricas são um sistema de coordenadas que permite descrever pontos em um espaço tridimensional. Elas são particularmente úteis em problemas que envolvem objetos com simetria esférica, como esferas, cilindros e cones.

Definição

Dado um ponto P no espaço 3D, as coordenadas esféricas (ρ, θ, φ) são definidas da seguinte forma:

ρ (rho): é a distância do ponto P ao origem O.
θ (theta): é o ângulo entre o raio OP e o eixo x positivo.
φ (phi): é o ângulo entre o raio OP e o plano xy.

Relação com as coordenadas cartesianas

As coordenadas esféricas podem ser relacionadas às coordenadas cartesianas (x, y, z) da seguinte forma:

\begin{aligned} x & = ρ \sin ϕ \cos θ \\ y & = ρ \sin ϕ \sin θ \\ z & = ρ \cos ϕ \end{aligned}

Derivadas em coordenadas esféricas

As derivadas em coordenadas esféricas são importantes para resolver problemas de cálculo. A seguir, estão as fórmulas para as derivadas parciais das funções em coordenadas esféricas:

$\frac{\partial}{\partial ρ}$
$\frac{\partial}{\partial θ}$
$\frac{\partial}{\partial ϕ}$

\begin{aligned} \frac{\partial}{\partial ρ} & = \sin ϕ \cos θ \frac{\partial}{\partial x} + \sin ϕ \sin θ \frac{\partial}{\partial y} + \cos ϕ \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac{\partial}{\partial θ} & = - ρ \sin ϕ \sin θ \frac{\partial}{\partial x} + ρ \sin ϕ \cos θ \frac{\partial}{\partial y} \\ \frac{\partial}{\partial ϕ} & = ρ \cos ϕ \cos θ \frac{\partial}{\partial x} + ρ \cos ϕ \sin θ \frac{\partial}{\partial y} - ρ \sin ϕ \frac{\partial}{\partial z} \end{aligned}

Essas fórmulas permitem calcular as derivadas parciais de funções em coordenadas esféricas, o que é útil para resolver problemas de cálculo em espaços tridimensionais.

Variáveis

Variável Reta ( $ρ$ )

A variável reta $ρ$ representa a distância do ponto ao origem. Ela pode variar entre $0$ e $\infty$ . A variação máxima de $ρ$ é, portanto, $\infty$ .

Variável Circular ( $θ$ )

A variável circular $θ$ representa o ângulo formado com o eixo x positivo. Ela pode variar entre $0$ e $2 π$ . A variação máxima de $θ$ é, portanto, $2 π$ .

Variável Polar ( $ϕ$ )

A variável polar $ϕ$ representa o ângulo formado com o plano xy. Ela pode variar entre $0$ e $π$ . A variação máxima de $ϕ$ é, portanto, $π$ .

Relação do Phi Constante com um Cone

Quando $ϕ$ é constante, isso significa que o ponto está localizado em uma superfície circular centrada no origem. Essa superfície é, na verdade, um cone com a direção de seu eixo sendo a direção do vetor $ρ$ . O ângulo entre o eixo x positivo e o eixo do cone é exatamente $ϕ$ , que é constante.

Exemplo

Considere um ponto $(ρ, θ, ϕ) = (3, \frac{π}{4}, \frac{π}{3})$ . Nesse caso, a variável reta $ρ$ tem valor $3$ , a variável circular $θ$ tem valor $\frac{π}{4}$ e a variável polar $ϕ$ é constante com valor $\frac{π}{3}$ . Isso significa que o ponto está localizado em um cone com direção do eixo $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$ , que forma um ângulo de $\frac{π}{3}$ com o eixo x positivo.