Método dos Multiplicadores de Lagrange

Introdução ao Método dos Multiplicadores de Lagrange

O Método dos Multiplicadores de Lagrange é uma técnica utilizada em cálculo para encontrar extremos (máximos ou mínimos) de uma função sujeita a restrições. Este método é especialmente útil quando se deseja otimizar uma função multivariável com condições restritivas.

Formulando o Problema

Considere uma função $f (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})$ que queremos maximizar ou minimizar sujeita a uma restrição $g (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) = c$ . O problema pode ser formulado como:

Maximizar/Minimizar f (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})

sujeto a

g (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) = c .

Definição Do Método

O método consiste em introduzir um novo parâmetro, chamado multiplicador de Lagrange ( $λ$ ), e formar uma nova função, conhecida como função auxiliar:

L (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}, λ) = f (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) - λ (g (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) - c) .

Encontrando Os Extremos

Para encontrar os extremos da função $f$ sujeita à restrição $g$ , devemos resolver o sistema de equações:

\begin{aligned} \frac{\partial L}{\partial x_{i}} & = 0, i = 1, 2, \dots, n \\ \frac{\partial L}{\partial λ} & = 0. \end{aligned}

Essas equações são conhecidas como as condições de Lagrange e fornecem os pontos críticos do problema.

Exemplo

Considere o seguinte exemplo: maximizar a função $f (x, y) = x^{2} + y^{2}$ sujeita à restrição $g (x, y) = x + y - 1 = 0$ . A função auxiliar é:

L (x, y, λ) = x^{2} + y^{2} - λ (x + y - 1) .

As condições de Lagrange são:

\begin{aligned} \frac{\partial L}{\partial x} & = 2 x - λ = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial y} & = 2 y - λ = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial λ} & = - (x + y - 1) = 0. \end{aligned}

Resolvendo esse sistema, obtemos:

2 x = λ, 2 y = λ, x + y = 1.

Substituindo $λ$ em $2 x = λ$ e $2 y = λ$ , temos $2 x = 2 y$ , ou seja, $x = y$ . Substituindo em $x + y = 1$ , obtemos:

2 x = 1 ⟹ x = \frac{1}{2}, y = \frac{1}{2} .

Portanto, o ponto crítico é $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ .

Aplicações

O Método dos Multiplicadores de Lagrange tem diversas aplicações em áreas como economia, física e engenharia. Por exemplo, pode ser usado para determinar a configuração ótima de um sistema com restrições, como o dimensionamento de uma estrutura ou a alocação de recursos.