Valores de Máximo e Mínimo

Valores Máximos e Mínimos de Funções de Duas Variáveis

Para entender os valores extremos (máximos e mínimos) de uma função de duas variáveis, consideremos a função $f(x,y)$.

Pontos Críticos

Os pontos críticos são aqueles onde as derivadas parciais primeiras da função são nulas. Portanto, devemos resolver o sistema:

Teste da Segunda Derivada

Para determinar se um ponto crítico $(x_0,y_0)$ é um máximo, mínimo ou ponto de sela, usamos o teste da segunda derivada. Definimos a matriz Hessiana $H$ como:

A matriz Hessiana é simétrica, então podemos usar o determinante e a egunda derivada parcialpara classificar os pontos críticos:

1. Determinante da Matriz Hessiana:

2. Classificação:
   • Se $D>0$ e ${\displaystyle \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}}>0$, então $(x_0,y_0)$ é um mínimo local.
   • Se $D>0$ e ${\displaystyle \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}}<0$, então $(x_0,y_0)$ é um máximo local.
   • Se $D<0$, então $(x_0,y_0)$ é um ponto de sela.
   • Se $D=0$, o teste é inconclusivo.

Exemplo

Considere a função:

1. Encontrar os pontos críticos:

Resolvendo, obtemos $(1,2)$.

2. Matriz Hessiana:

3. Determinante da Matriz Hessiana:

E ${\displaystyle \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}}=2>0$.

Portanto, $(1,2)$ é um mínimo local.