Integrais Duplas em Coordenadas Polares

Introdução

Integrais duplas em coordenadas polares são uma ferramenta poderosa para calcular áreas, volumes, e integrais de funções bidimensionais ou tridimensionais que têm simetria circular. As coordenadas polares consistem em um ponto no plano definido por um ângulo $θ$ e uma distância $r$ do origem (polar), em vez das coordenadas retangulares $(x, y)$ .

Transformação de Coordenadas

A transformação entre as coordenadas retangulares $(x, y)$ e polares $(r, θ)$ é dada por:

x = r \cos (θ)

y = r \sin (θ)

A área diferencial em coordenadas polares é dado por $d A = r d r d θ$ . Isso se deve ao fato de que a área de um pequeno círculo em coordenadas polares é aproximadamente igual à área do retângulo formado pelas diferenças nas coordenadas.

Integrais Duplas

Para calcular uma integral dupla em coordenadas polares, primeiro expressamos a função $f (x, y)$ em termos de $r$ e $θ$ . Em seguida, substituímos as transformações de coordenadas na integral. A forma geral da integral dupla em coordenadas polares é:

\iint_{R} f (x, y) d A = \iint_{R^{'}} f (r \cos (θ), r \sin (θ)) \cdot r d r d θ

onde $R$ é a região no plano cartesiano e $R^{'}$ é a correspondente região em coordenadas polares.

Exemplo: Integral Dupla de Uma Função Simples

Considere a função $f (x, y) = x^{2} + y^{2}$ . Em coordenadas polares, esta se transforma em:

f (r \cos (θ), r \sin (θ)) = (r \cos (θ))^{2} + (r \sin (θ))^{2} = r^{2}

A integral dupla sobre uma região circular de raio $R$ centrada na origem é:

\iint_{R} (x^{2} + y^{2}) d A = \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{R} r^{2} \cdot r d r d θ = \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{R} r^{3} d r d θ

Calculando a integral interna primeiro:

\int_{0}^{R} r^{3} d r = {[\frac{r^{4}}{4}]}_{0}^{R} = \frac{R^{4}}{4}

Então a integral externa é:

\int_{0}^{2 π} \frac{R^{4}}{4} d θ = \frac{R^{4}}{4} {[θ]}_{0}^{2 π} = \frac{π R^{4}}{2}

Retângulo Polar

Um "retângulo polar" é uma região no plano polares definida por um intervalo de $θ$ e $r$ . Por exemplo, o retângulo polar pode ser definido como:

a \leq r \leq b, c \leq θ \leq d

A área deste retângulo é calculada multiplicando a diferença entre os limites de $r$ e $θ$ por $r$ , conforme mencionado anteriormente.

Aplicações Práticas

Integrais duplas em coordenadas polares são úteis para problemas com simetria circular, como cálculos de momentos de inércia ou áreas de regiões circulares. Por exemplo, a área de um círculo de raio $R$ pode ser calculada facilmente usando integrais polares:

A = \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{R} r d r d θ = 2 π R^{2}