Integral por Partes

A integral por partes é uma técnica utilizada para resolver integrais difíceis de calcular diretamente. Ela se baseia na regra do produto da derivada e é fundamental em muitas áreas da matemática.

Regra Do Produto da Derivada

A regra do produto da derivada estabelece que, se $f (x)$ e $g (x)$ são funções contínuas no intervalo $[a, b]$ , então:

\frac{d}{d x} (f (x) \cdot g (x)) = f^{'} (x) \cdot g (x) + f (x) \cdot g^{'} (x)

Aplicação da Integral por Partes

A integral por partes é uma generalização da regra do produto da derivada para integrais. Ela estabelece que, se $f (x)$ e $g (x)$ são funções contínuas no intervalo $[a, b]$ , então:

\int f (x) \cdot g^{'} (x) d x = F (x) \cdot G (x) - \int F^{'} (x) \cdot G (x) d x

onde $F (x)$ é a integral de $f (x)$ e $G (x)$ é a integral de $g (x)$ .

Exemplo

Considere o seguinte exemplo:

\int x^{2} \cdot e^{x^{3}} d x

Aqui, podemos escolher $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = e^{x^{3}}$ . A integral de $f (x)$ é $F (x) = \frac{x^{3}}{3}$ e a integral de $g (x)$ é $G (x) = \frac{1}{3} e^{x^{3}}$ .

Aplicando a fórmula da integral por partes, obtemos:

\int x^{2} \cdot e^{x^{3}} d x = \frac{x^{3}}{3} \cdot \frac{1}{3} e^{x^{3}} - \int \frac{3 x^{2}}{3} \cdot \frac{1}{3} e^{x^{3}} d x

Simplificando, obtemos:

\int x^{2} \cdot e^{x^{3}} d x = \frac{x^{6}}{27} e^{x^{3}} - \int x e^{x^{3}} d x

Agora, podemos aplicar a fórmula da integral por partes novamente para resolver a integral restante.