Limites e Continuidade de Funções de 2 Variáveis

Definição de Limite

O limite de uma função $f (x, y)$ em um ponto $(a, b)$ é o valor que a função se aproxima quando as variáveis $x$ e $y$ se aproximam do ponto $(a, b)$ . Matematicamente, dizemos que:

lim_{(x, y) \to (a, b)} f (x, y) = L

se para todo $ϵ > 0$ , existe um $δ > 0$ tal que:

0 < \sqrt{(x - a)^{2} + (y - b)^{2}} < δ ⟹ | f (x, y) - L | < ϵ

Cálculo de Limites

Para calcular limites de funções bidimensionais, é comum usar a substituição direta ou métodos como o uso de caminhos. Por exemplo:

Substituição Direta: Se $f (a, b)$ está definida e finita, então $lim_{(x, y) \to (a, b)} f (x, y) = f (a, b)$ .
Caminhos Diferentes: Verificar se o limite é o mesmo ao seguir diferentes caminhos pode indicar a existência do limite. Por exemplo:
- Ao considerar $y = m x$ , temos $lim_{(x, y) \to (a, b)} f (x, m x)$ .
- Ao considerar $y = x^{2}$ , temos $lim_{(x, y) \to (a, b)} f (x, x^{2})$ .

Exemplo

Considere a função:

f (x, y) = \frac{x^{2} - y^{2}}{x^{2} + y^{2}}

Para calcular $lim_{(x, y) \to (0, 0)} f (x, y)$ , podemos usar diferentes caminhos:

Caminho $y = 0$ :

lim_{x \to 0} f (x, 0) = lim_{x \to 0} \frac{x^{2}}{x^{2}} = 1

Caminho $y = x$ :

lim_{x \to 0} f (x, x) = lim_{x \to 0} \frac{0}{2 x^{2}} = 0

Como os limites são diferentes para caminhos distintos, concluímos que o limite não existe.

Continuidade de Funções de Duas Variáveis

Definição de Continuidade

ma função $f (x, y)$ é contínua em um ponto $(a, b)$ se:

lim_{(x, y) \to (a, b)} f (x, y) = f (a, b)

Isso significa que a função tem um valor definido no ponto e que esse valor é igual ao limite da função quando as variáveis $x$ e $y$ se aproximam do ponto $(a, b)$ .

Exemplos de Funções Contínuas e Não-contínuas

Função Contínua:
- Considere a função $f (x, y) = x^{2} + y^{2}$ .
  - Esta função é polinomial em duas variáveis.
  - Polinômios são contínuos em todo ponto do plano cartesiano.
  - Portanto, $f (x, y) = x^{2} + y^{2}$ é contínua em todo ponto $(x, y)$ .
Função Não-Contínua:
- Considere a função:

f (x, y) = {\begin{cases} \frac{x^{2} - y^{2}}{x^{2} + y^{2}} & se (x, y) \neq (0, 0) \\ 1 & se (x, y) = (0, 0) \end{cases}

Análise do Limite em $(0, 0)$ :
- Para verificar a continuidade em $(0, 0)$ , precisamos calcular o limite da função quando $(x, y) \to (0, 0)$ .
- Usando diferentes caminhos, encontramos resultados diferentes:
  - Caminho $y = 0$ :

lim_{(x, y) \to (0, 0)} f (x, 0) = lim_{x \to 0} \frac{x^{2}}{x^{2}} = 1

- Caminho $y = x$ :

lim_{(x, y) \to (0, 0)} f (x, x) = lim_{x \to 0} \frac{x^{2} - x^{2}}{x^{2} + x^{2}} = lim_{x \to 0} \frac{0}{2 x^{2}} = 0

- Como os limites são diferentes para caminhos distintos, concluímos que o limite não existe em $(0, 0)$ .
- Portanto, a função $f (x, y)$ é não-continua no ponto $(0, 0)$ .

Continuidade de Funções Racionais em Duas Variáveis

Funções racionais bidimensionais são formadas pela divisão de polinômios em duas variáveis. Elas são contínuas em todo ponto do plano cartesiano onde o denominador não é zero.

Exemplo:
- Considere a função $f (x, y) = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{2} + y^{2} + 1}$ .
  - O denominador $x^{2} + y^{2} + 1$ nunca é zero para qualquer ponto $(x, y)$ no plano cartesiano.
  - Portanto, a função é contínua em todo ponto do plano.