Teorema do Confronto

O Teorema do Confronto de Limites é um importante resultado no cálculo que permite determinar o limite de uma função ao compará-la com outra cujo limite já seja conhecido. Este teorema é útil para resolver problemas complexos de limites sem recorrer a métodos mais avançados.

Sejam $f(x)$ e $g(x)$ duas funções definidas no entorno de um ponto $a$ (ou em todo o domínio real, se $a=\mathrm{\infty }$), e suponha que $\underset{x\to a}{lim}g(x)=L$, onde $L$ é um número real ou infinito. Então:

1. Se $0\le f(x)\le g(x)$ para todo $x$ no entorno de $a$ (exceto possivelmente em $a$), então $\underset{x\to a}{lim}f(x)=L$.
2. Se $f(x)\ge 0$ e $g(x)\ge 0$ para todo $x$ no entorno de $a$, e se $\underset{x\to a}{lim}g(x)=0$, então $\underset{x\to a}{lim}f(x)=0$.

Exemplos

1. Exemplo 1:
   Considere as funções $f(x)=x^2\sin (\frac{1}{x})$ e $g(x)=x^2$. Sabemos que $\underset{x\to 0}{lim}g(x)=0$. Como $-1\le \sin (\frac{1}{x})\le 1$, temos:

Aplicando o Teorema do Confronto de Limites, concluímos que $\underset{x\to 0}{lim}f(x)=0$.

2. Exemplo 2:
   Considere as funções $f(x)=e^{-x^2}$ e $g(x)=x^4$. Sabemos que $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}g(x)=\mathrm{\infty }$. Como $e^{-x^2}>0$ para todo $x$, temos:

Aplicando o Teorema do Confronto de Limites, concluímos que $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}f(x)=\mathrm{\infty }$.

Este teorema é uma ferramenta poderosa para resolver limites complexos e é frequentemente usado em cálculos avançados.