Convergência Absoluta

Convergência absoluta é um conceito fundamental na teoria das séries numéricas, especialmente em análise matemática e cálculo avançado. Uma série numérica $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ converge absolutamente se a série formada pelos valores absolutos dos termos da série original, $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}|a_n|$, convergir.

Exemplos de Convergência Absoluta

1. Série Geométrica:
   A série geométrica $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{\left(\frac{1}{2}\right)}^n$ converge absolutamente, pois a série dos valores absolutos é $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\left|{\left(\frac{1}{2}\right)}^n\right|=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{\left(\frac{1}{2}\right)}^n$, que converge para 2.

2. Série de Potências:
   A série de potências $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{n!}$ converge absolutamente para todo $x\in \mathbb{R}$. Isso ocorre porque a série dos valores absolutos, $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\left|\frac{x^n}{n!}\right|=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{|x{|}^n}{n!}$, converge para $e^{|x|}$.

Características Importantes

1. Convergência Absoluta Implica Convergência:
   Se uma série $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ convergir absolutamente, então ela também converge (mas não vice-versa). Isso significa que se $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}|a_n|$ converge, então $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ também converge.

2. Testes de Convergência Absoluta:
   Existem vários testes para determinar a convergência absoluta:

   • Teste da Razão: Se $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=L<1$, então $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}|a_n|$ converge.
   • Teste do Raio de Convergência: Para séries de potências, o raio de convergência $R$ pode ser usado para determinar a convergência absoluta no intervalo $(-R,R)$.

3. Consequências da Convergência Absoluta:
   A convergência absoluta tem implicações importantes em cálculos e aplicações matemáticas:

   • Permite a troca de ordem de somatórios sem alterar o resultado.
   • Facilita a manipulação algébrica das séries, como adição, subtração e multiplicação.

Exemplos de Série que Não Convergem Absolutamente

1. Série Alternada:
   A série $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{n+1}\frac{1}{n}$ converge condicionalmente, mas não converge absolutamente, pois a série dos valores absolutos $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\left|\frac{(-1{)}^{n+1}}{n}\right|=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n}$ (série harmônica) diverge.

2. Série de Dirichlet:
   A série $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{n+1}\frac{\sin (n)}{n}$ converge condicionalmente, mas não converge absolutamente, pois a série dos valores absolutos $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\left|\frac{\sin (n)}{n}\right|$ diverge.