Série Binomial

A série binomial é um importante conceito na teoria dos números e em cálculo, que permite expandir expressões do tipo $(1 + x)^{n}$ para qualquer número real ou complexo $n$ . Esta série é uma generalização da fórmula do binômio de Newton.

Definição da Série Binomial

A série binomial pode ser definida como:

(1 + x)^{n} = \sum_{k = 0}^{+ \infty} (\binom{n}{k}) x^{k},

onde $(\binom{n}{k})$ é o coeficiente binomial, dado por:

(\binom{n}{k}) = \frac{n!}{k! (n - k)!} .

Exemplos de Série Binomial

Para $n = 0$ :

(1 + x)^{0} = 1.

Para $n = 1$ :

(1 + x)^{1} = 1 + x .

Para $n = 2$ :

(1 + x)^{2} = 1 + 2 x + x^{2} .

Para $n = - \frac{1}{2}$ :

{(1 + x)}^{- \frac{1}{2}} = 1 - \frac{1}{2} x + \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2}}{2!} x^{2} - \dots .

Relação com a Série de Maclaurin

A série de Maclaurin é uma série infinita que representa uma função $f (x)$ em torno do ponto $x = 0$ . A forma geral da série de Maclaurin para uma função $f (x)$ é:

f (x) = \sum_{k = 0}^{+ \infty} \frac{f^{(k)} (0)}{k!} x^{k},

onde $f^{(k)} (0)$ representa a $k$ -ésima derivada de $f (x)$ avaliada em $x = 0$ .

A série binomial pode ser vista como uma aplicação específica da série de Maclaurin. Por exemplo, para $(1 + x)^{n}$ , podemos escrever:

(1 + x)^{n} = \sum_{k = 0}^{+ \infty} (\binom{n}{k}) x^{k},

onde $(\binom{n}{k})$ é o coeficiente binomial e pode ser interpretado como a $k$ -ésima derivada de $(1 + x)^{n}$ avaliada em $x = 0$ , dividido por $k!$ . Isso mostra claramente a relação entre a série binomial e a série de Maclaurin.

Intervalo de Convergência

O intervalo de convergência da série binomial refere-se ao conjunto de valores de $x$ para os quais a série converge. Para a série binomial $(1 + x)^{n}$ , o intervalo de convergência depende do valor de $n$ . Em geral, a série converge se $| x | < 1$ .

Exemplos de Intervalos de Convergência

Para $n = 0$ :

A série é:

(1 + x)^{0} = \sum_{k = 0}^{+ \infty} (\binom{0}{k}) x^{k} = 1.

Esta série converge para todos os valores de $x$ , pois não depende de $x$ .

Para $n = 1$ :

A série é:

(1 + x)^{1} = \sum_{k = 0}^{+ \infty} (\binom{1}{k}) x^{k} = 1 + x .

Esta série converge para todos os valores de $x$ , pois é uma série finita.

Para $n = 2$ :

A série é:

(1 + x)^{2} = \sum_{k = 0}^{+ \infty} (\binom{2}{k}) x^{k} = 1 + 2 x + x^{2} .

Esta série converge para todos os valores de $x$ , pois é uma série finita.

Para $n = - \frac{1}{2}$ :

A série é:

{(1 + x)}^{- \frac{1}{2}} = \sum_{k = 0}^{+ \infty} (\binom{- \frac{1}{2}}{k}) x^{k} .

O coeficiente binomial $(\binom{- \frac{1}{2}}{k})$ é dado por:

(\binom{- \frac{1}{2}}{k}) = (- 1)^{k} \frac{(\frac{1}{2}) (\frac{3}{2}) \dots (\frac{1}{2} + k - 1)}{k!} .

A série converge para $| x | < 1$ .

Exemplo de Aplicação

Considere o caso onde $n = - \frac{1}{2}$ :

(1 + x)^{- \frac{1}{2}} = 1 - \frac{1}{2} x + \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2}}{2!} x^{2} - \dots .

A série converge para $| x | < 1$ . Por exemplo, se $x = \frac{1}{2}$ :

(1 + \frac{1}{2})^{- \frac{1}{2}} = {(\frac{3}{2})}^{- \frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{2}{3}} .