Série de Maclaurin

Introdução à Série de Maclaurin

A Série de Maclaurin é um caso especial da Série de Taylor, que permite aproximar uma função matemática usando um polinômio infinito. Essa série é particularmente útil para calcular valores aproximados de funções complexas, especialmente quando a função pode ser expressa em termos de sua derivada no ponto zero.

A forma geral da Série de Maclaurin para uma função $f (x)$ é dada por:

f (x) = f (0) + \frac{f^{'} (0)}{1!} x + \frac{f^{″} (0)}{2!} x^{2} + \frac{f^{‴} (0)}{3!} x^{3} + \dots

Exemplos de Série de Maclaurin

Exemplo 1: Função $e^{x}$
A função exponencial $e^{x}$ tem uma série de Maclaurin que é bastante simples e útil:

e^{x} = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n!}

Exemplo 2: Função $\sin (x)$
A função seno tem a seguinte série de Maclaurin:

\sin (x) = x - \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{5}}{5!} - \frac{x^{7}}{7!} + \dots

Exemplo 3: Função $\cos (x)$
A função cosseno também pode ser representada por uma série de Maclaurin:

\cos (x) = 1 - \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{4}}{4!} - \frac{x^{6}}{6!} + \dots

Raio de Convergência

O Raio de Convergência é um valor $R$ que determina o intervalo em torno do ponto zero onde a série converge. Para uma série de Maclaurin, se a série converge para $x = R$ , então ela converge absolutamente para todos os valores $| x | < R$ . O raio de convergência pode ser calculado usando testes como o Teste da Raiz ou o Teste do Termo Consecutivo.

Por exemplo, considerando a série de Maclaurin para $e^{x}$ :

e^{x} = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n!}

Podemos usar o Teste da Raiz para encontrar que o raio de convergência é infinito, indicando que a série converge para todos os valores de $x$ .

Em resumo, as séries de Maclaurin são ferramentas poderosas na matemática aplicada e teórica, permitindo a aproximação de funções complexas por polinômios. O raio de convergência é crucial para entender em qual intervalo essas aproximações são válidas.