Série P

A série harmônica geral, conhecida como p-série, é uma série infinita da forma:

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{p}}

onde $p$ é um número real positivo. A convergência ou divergência dessa série depende do valor de $p$ :

Caso $p > 1$ : A série converge. Um exemplo é a série harmônica dupla com $p = 2$ , que é:

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}

Esta série converge para um valor finito, conhecido como a constante zeta de Riemann para $s = 2$ :

ζ (2) = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}} = \frac{π^{2}}{6}

Caso $p = 1$ : A série é a série harmônica simples:

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n}

Esta série diverge, o que pode ser demonstrado usando o teste da comparação ou o teste do termo geral não-nulo.

Caso $0 < p < 1$ : A série diverge. Por exemplo, para $p = \frac{1}{2}$ :

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n}}

Esta série diverge mais rapidamente do que a série harmônica simples.

Caso $p \leq 0$ : A série diverge. Por exemplo, para $p = - 1$ :

\sum_{n = 1}^{\infty} n

Esta é uma série aritmética crescente e claramente divergente.

A convergência da p-série pode ser demonstrada usando o teste do termo geral não-nulo ou o teste de comparação. Nota-se que a p-série desempenha um papel crucial na teoria dos números e em várias aplicações matemáticas, incluindo a análise de séries e integrais relacionados.