Série Telescópica

Definição

Uma série telescópica é uma expansão de uma função em um intervalo específico, utilizando séries infinitas. Ela é útil para encontrar a expansão de funções complexas em diferentes domínios.

Características

A série telescópica é uma expansão da função em um intervalo específico.
Cada termo da série é calculado utilizando a função e seus derivados.
A série converge para a função original no intervalo de convergência.

Exemplo: Série Telescópica de 1/x

A série telescópica de $\frac{1}{x}$ é uma das mais simples e úteis. Ela é definida como:

\frac{1}{x} = \sum_{n = 0}^{\infty} (- 1)^{n} x^{n}

Para $| x | < 1$ , a série converge para $\frac{1}{x}$ .

Exemplo: Série Telescópica de sen(x)

A série telescópica do seno é definida como:

\sin (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} (- 1)^{n} \frac{x^{2 n + 1}}{(2 n + 1)!}

Para $| x | < π / 2$ , a série converge para $\sin (x)$ .

Propriedades

A série telescópica pode ser utilizada para encontrar a expansão de funções complexas em diferentes domínios.
Ela é útil para resolver problemas que envolvem integrais e derivadas de funções complexas.
A série convergência é importante para garantir que a expansão seja precisa.

Aplicações

A série telescópica é utilizada em muitas áreas da matemática, incluindo análise, álgebra e geometria.
Ela é fundamental para resolver problemas de física e engenharia que envolvem funções complexas.
A série é também utilizada em computação científica para simular fenômenos complexos.