Séries Alternadas

Introdução às Séries Alternadas

Uma série alternada é um tipo especial de série numérica onde os termos são alternadamente positivos e negativos. Essas séries têm a forma geral:

\sum_{n = 1}^{\infty} (- 1)^{n + 1} b_{n} ou \sum_{n = 1}^{\infty} (- 1)^{n} b_{n},

onde $b_{n}$ é uma sequência de números reais não-negativos.

Exemplo

Considere a série alternada:

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(- 1)^{n + 1}}{n} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \dots .

Esta série é conhecida como a Série Harmônica Alternada. Ela converge para $\ln (2)$ , conforme demonstrado pelo Teorema de Leibniz.

Convergência das Séries Alternadas

A convergência de uma série alternada pode ser verificada usando o Teorema de Leibniz, que estabelece as seguintes condições:

A sequência $b_{n}$ é monótona decrescente, ou seja, $b_{n + 1} \leq b_{n}$ para todo $n$ .
$lim_{n \to \infty} b_{n} = 0$ .

Se ambas as condições forem satisfeitas, a série alternada converge.

Exemplo de Aplicação

Considere a série:

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(- 1)^{n + 1}}{2^{n}} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{4} - \frac{1}{8} + \dots .

Aqui, $b_{n} = \frac{1}{2^{n}}$ .

A sequência ${\frac{1}{2^{n}}}$ é monótona decrescente.
$lim_{n \to \infty} \frac{1}{2^{n}} = 0$ .

Portanto, pela condição do Teorema de Leibniz, a série converge.

Teste da Série Alternada

O Teste da Série Alternada é um método utilizado para determinar a convergência condicional de séries infinitas do tipo alternado. Uma série alternada tem a forma geral:

\sum_{n = 1}^{\infty} (- 1)^{n - 1} b_{n} ou \sum_{n = 1}^{\infty} (- 1)^{n} b_{n},

onde $b_{n}$ é uma sequência de números reais não-negativos.

Princípio Do Teste

O teste da série alternada afirma que se a sequência ${b_{n}}$ satisfizer as seguintes condições:

Decrescimento: $b_{n + 1} \leq b_{n}$ para todo $n$ .
Limitação ao zero: $lim_{n \to \infty} b_{n} = 0$ .

Então a série alternada converge.

Exemplos

Exemplo 1:

Considere a série:

\sum_{n = 1}^{\infty} (- 1)^{n - 1} \frac{1}{n} .

Aqui, $b_{n} = \frac{1}{n}$ .

Decrescimento: $\frac{1}{n + 1} < \frac{1}{n}$ .
Limitação ao zero: $lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$ .

Portanto, a série converge pelo teste da série alternada.

Exemplo 2:

Considere a série:

\sum_{n = 1}^{\infty} (- 1)^{n} \frac{n + 1}{n^{2} + 1} .

Aqui, $b_{n} = \frac{n + 1}{n^{2} + 1}$ .

Decrescimento: $\frac{(n + 1) + 1}{(n + 1)^{2} + 1} < \frac{n + 1}{n^{2} + 1}$ .
Limitação ao zero: $lim_{n \to \infty} \frac{n + 1}{n^{2} + 1} = 0$ .

Portanto, a série converge pelo teste da série alternada.

Observações

O teste não pode ser usado para determinar a convergência absoluta de uma série.
Se a série não satisfizer as condições do teste (ou seja, se $b_{n}$ não decresce ou $lim_{n \to \infty} b_{n} \neq 0$ ), o teste é inconclusivo e outras técnicas devem ser utilizadas.

Este método é particularmente útil para séries onde os termos alternam de sinal.

Estimativa de Somas

A estimativa de somas é um processo usado para aproximar o valor de uma série infinita, especialmente quando a série converge lentamente. Este método é particularmente útil em séries alternadas, onde os termos são alternadamente positivos e negativos.

Princípio Fundamental

Para uma série alternada que satisfaz as condições do Teorema de Leibniz (monótona decrescente e limitada ao zero), a soma da série pode ser estimada com precisão. A estimativa é baseada no fato de que o erro na aproximação é menor que o valor absoluto do primeiro termo não considerado.

Formulando a Estimativa

Considere uma série alternada $\sum_{n = 1}^{\infty} (- 1)^{n + 1} b_{n}$ . Se $S$ é a soma exata da série e $S_{N} = \sum_{n = 1}^{N} (- 1)^{n + 1} b_{n}$ é a soma parcial até o termo $b_{N}$ , então:

| S - S_{N} | < b_{N + 1} .

Isso significa que a diferença entre a soma exata e a soma parcial $S_{N}$ é menor que o próximo termo da sequência, $b_{N + 1}$ .

Exemplo de Aplicação

Considere novamente a Série Harmônica Alternada:

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(- 1)^{n + 1}}{n} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \dots .

Se quisermos estimar a soma da série até o termo $b_{N}$ , podemos usar:

S_{N} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \dots + (- 1)^{N + 1} \frac{1}{N},

e o erro na estimativa é menor que $\frac{1}{N + 1}$ .

Aplicação Prática

Suponha que queremos estimar a soma da série até $N = 5$ :

S_{5} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{5} .

O erro na estimativa é menor que $\frac{1}{6}$ , ou aproximadamente $0.167$ . Portanto, a soma da série pode ser estimada com uma precisão de até $0.167$ .