Séries de Potências

Uma série de potências é uma representação da forma:

\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} (x - c)^{n},

onde $a_{n}$ são os coeficientes, $c$ é o centro da série e $x$ é a variável.

Raio de Convergência

O raio de convergência, denotado por $R$ , é um número não negativo que define o intervalo em torno do centro $c$ onde a série converge absolutamente. Para calcular $R$ , usamos a fórmula:

\frac{1}{R} = lim_{n \to \infty} | \frac{a_{n}}{a_{n + 1}} | .

Se o limite não existe, podemos usar outros métodos como o teste da razão ou o teste do radicando.

Intervalo de Convergência

O intervalo de convergência é a sequência de números $x$ para os quais a série converge. Ele é determinado pelo raio de convergência $R$ e pode ser expresso no formato:

c - R < x < c + R .

É importante verificar os extremos do intervalo, pois a série pode ou não convergir nessas posições.

Exemplo

Considere a série de potências:

\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(x - 2)^{n}}{3^{n}} .

Raio de Convergência:

R = lim_{n \to \infty} | \frac{a_{n}}{a_{n + 1}} | = lim_{n \to \infty} | \frac{\frac{1}{3^{n}}}{\frac{1}{3^{n + 1}}} | = 3.

Portanto, $R = 3$ .

Intervalo de Convergência:
O intervalo inicial é:

- 3 < x - 2 < 3,

que simplifica para:

- 1 < x < 5.

Verificação dos Extremos:
- Para $x = - 1$ , a série se torna $\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(- 3)^{n}}{3^{n}}$ , que é uma série geométrica com razão $- 1$ . A série converge.
- Para $x = 5$ , a série se torna $\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(3)^{n}}{3^{n}}$ , que também é uma série geométrica com razão $1$ . A série diverge.

Portanto, o intervalo de convergência final é:

- 1 \leq x < 5.

Essa análise mostra como calcular e interpretar o raio e o intervalo de convergência para uma série de potências.