Soma de Séries por Somas Parciais

Para entender melhor como uma série converge para sua soma, podemos analisar suas somas parciais. Uma soma parcial é a soma dos n primeiros termos de uma série.

Definição de Soma Parcial

Para uma série ∑aₖ, a n-ésima soma parcial Sₙ é definida como:

S_{n} = \sum_{k = 1}^{n} a_{k} = a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}

Exemplo com Série Geométrica

Considere a série geométrica com a = 1 e r = 1/2:

1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \dots

As somas parciais seriam:

S₁ = 1
S₂ = 1 + 1/2 = 1.5
S₃ = 1 + 1/2 + 1/4 = 1.75
S₄ = 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 = 1.875

Podemos observar que as somas parciais se aproximam cada vez mais de 2, que é o valor limite da série:

lim_{n \to \infty} S_{n} = \frac{1}{1 - \frac{1}{2}} = 2

Fórmula Geral para Soma Parcial de Série Geométrica

Para uma série geométrica com primeiro termo a e razão r, a n-ésima soma parcial é dada por:

S_{n} = a \frac{1 - r^{n}}{1 - r}, para r \neq 1

Esta fórmula nos permite calcular exatamente a soma dos n primeiros termos e verificar o comportamento da série conforme n aumenta.