Teste da Integral

Para entender o critério da integral para a convergência de séries, é importante primeiro definir as condições e aplicar o método corretamente.

Definição Do Critério da Integral

Considere uma função $f (x)$ contínua, não-negativa e decrescente para $x \geq 1$ . A série $\sum_{n = 1}^{\infty} f (n)$ converge se e somente se a integral $\int_{1}^{\infty} f (x) d x$ convergir.

Exemplos

Exemplo 1: Série de Potência

Considere a série geométrica generalizada $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{p}}$ , onde $p > 0$ . Aqui, $f (x) = \frac{1}{x^{p}}$ .

Integral:

\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{p}} d x

Para $p > 1$ , a integral converge:

\int_{1}^{\infty} x^{- p} d x = {[- \frac{1}{(p - 1) x^{p - 1}}]}_{1}^{\infty} = \frac{1}{p - 1}

Para $p \leq 1$ , a integral diverge.

Exemplo 2: Série de Termos Positivos

Considere a série $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n}}$ .

Integral:

\int_{1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{x}} d x = {[2 \sqrt{x}]}_{1}^{\infty}

Esta integral diverge porque $lim_{x \to \infty} 2 \sqrt{x} = \infty$ .

Aplicações e Considerações

Limitação: O critério da integral é mais útil para séries com termos que podem ser expressos como funções contínuas, não-negativas e decrescentes.
Comparação: Pode ser usado em combinação com outros testes de convergência, como o teste comparativo ou o teste do limite.