Teste da Raíz

O Teste da Raiz é um método utilizado para determinar a convergência de séries infinitas, especialmente aquelas com termos do tipo $a_{n} = n^{k}$ ou $a_{n} = \frac{1}{n^{k}}$ , onde $k$ é uma constante. Este teste é particularmente útil quando os termos da série envolvem potências de $n$ .

Formulando o Teste

O Teste da Raiz é aplicado à série $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ , onde cada termo $a_{n}$ pode ser expresso como uma função de $n$ . A ideia principal é calcular o limite superior do enésimo raiz dos termos da série:

L = \underset{n \to \infty}{lim sup} \sqrt[n]{| a_{n} |}

Se $L < 1$ , a série converge absolutamente. Se $L > 1$ , a série diverge. Se $L = 1$ , o teste é inconclusivo.

Exemplos de Aplicação

Exemplo 1: Série Geométrica

Considere a série geométrica $\sum_{n = 0}^{\infty} {(\frac{1}{2})}^{n}$ . Aqui, $a_{n} = {(\frac{1}{2})}^{n}$ .

Applicando o Teste da Raiz:

L = \underset{n \to \infty}{lim sup} \sqrt[n]{| {(\frac{1}{2})}^{n} |} = \underset{n \to \infty}{lim sup} (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2}

Como $L < 1$ , a série converge absolutamente.

Exemplo 2: Série de Potências

Considere a série $\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{n!}{(3 n)!}$ . Aqui, $a_{n} = \frac{n!}{(3 n)!}$ .

Applicando o Teste da Raiz:

L = \underset{n \to \infty}{lim sup} \sqrt[n]{| \frac{n!}{(3 n)!} |}

Usando a aproximação factorial $n! \approx \sqrt{2 π n} {(\frac{n}{e})}^{n}$ , temos:

L = \underset{n \to \infty}{lim sup} \sqrt[n]{\frac{\sqrt{2 π n} {(\frac{n}{e})}^{n}}{\sqrt{6 π n} {(\frac{3 n}{e})}^{3 n}}} = \underset{n \to \infty}{lim sup} \frac{1}{3^{n}} = 0

Como $L < 1$ , a série converge absolutamente.

Exemplo 3: Série de Termos Alternados

Considere a série $\sum_{n = 1}^{\infty} (- 1)^{n} \frac{n^{2}}{e^{n}}$ . Aqui, $a_{n} = (- 1)^{n} \frac{n^{2}}{e^{n}}$ .

Applicando o Teste da Raiz:

L = \underset{n \to \infty}{lim sup} \sqrt[n]{| (- 1)^{n} \frac{n^{2}}{e^{n}} |} = \underset{n \to \infty}{lim sup} \frac{\sqrt[n]{n^{2}}}{e} = \frac{1}{e}

Como $L < 1$ , a série converge absolutamente.