Teste da Razão

O Critério da Razão (ou Teste da Razão) é um método útil para determinar a convergência absoluta de uma série infinita. Este critério é particularmente eficaz quando os termos da série são expressos em função de números positivos e crescentes.

Formulação Do Critério

Considere uma série infinita $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ , onde $a_{n} > 0$ para todo $n$ . O critério da razão é aplicado ao calcular o limite:

L = lim_{n \to \infty} | \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} |

Se $L < 1$ , a série converge absolutamente.
Se $L > 1$ , a série diverge.
Se $L = 1$ , o critério não fornece informações sobre a convergência.

Exemplos de Aplicação

Exemplo 1: Série Geométrica

Considere a série geométrica $\sum_{n = 0}^{\infty} {(\frac{1}{2})}^{n}$ .

Termos da série: $a_{n} = {(\frac{1}{2})}^{n}$
Razão entre termos consecutivos: $\frac{a_{n + 1}}{a_{n}} = \frac{{(\frac{1}{2})}^{n + 1}}{{(\frac{1}{2})}^{n}} = \frac{1}{2}$

Calculando o limite:

L = lim_{n \to \infty} | \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} | = \frac{1}{2}

Como $L < 1$ , a série converge absolutamente.

Exemplo 2: Série de Fatorial

Considere a série $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n!}{(2 n)!}$ .

Termos da série: $a_{n} = \frac{n!}{(2 n)!}$
Razão entre termos consecutivos:

\frac{a_{n + 1}}{a_{n}} = \frac{(n + 1)! (2 n)!}{(2 (n + 1))! n!} = \frac{(n + 1) (2 n)!}{(2 n + 2) (2 n + 1) (2 n)!} = \frac{n + 1}{(2 n + 2) (2 n + 1)}

Calculando o limite:

L = lim_{n \to \infty} | \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} | = lim_{n \to \infty} \frac{n + 1}{(2 n + 2) (2 n + 1)} = lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n + 1}{n^{2}}}{(\frac{2 n + 2}{n}) (\frac{2 n + 1}{n})} = lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{n} + \frac{1}{n^{2}}}{4 + \frac{2}{n} + \frac{1}{n^{2}}} = 0

Como $L < 1$ , a série converge absolutamente.

Exemplo 3: Série de Potências

Considere a série $\sum_{n = 1}^{\infty} (\frac{x^{n}}{n})$ , onde $x$ é um número real.

Termos da série: $a_{n} = \frac{x^{n}}{n}$
Razão entre termos consecutivos:

\frac{a_{n + 1}}{a_{n}} = \frac{\frac{x^{n + 1}}{n + 1}}{\frac{x^{n}}{n}} = \frac{n x^{n + 1}}{(n + 1) x^{n}} = \frac{n x}{n + 1}

Calculando o limite:

L = lim_{n \to \infty} | \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} | = lim_{n \to \infty} | \frac{n x}{n + 1} | = | x |

Se $| x | < 1$ , a série converge absolutamente.
Se $| x | > 1$ , a série diverge.
Se $| x | = 1$ , o critério não fornece informações sobre a convergência.