Testes de Comparação

Testes de comparação são ferramentas úteis na análise da convergência de séries infinitas. Esses testes permitem comparar a série em questão com uma série conhecida, cuja convergência ou divergência já seja estabelecida.

Teste Direto de Comparação

O Teste Direto de Comparação é aplicado quando se pode comparar diretamente as termos da série com os termos de outra série cuja convergência é conhecida.

Formulação: Sejam $\sum a_{n}$ e $\sum b_{n}$ duas séries infinitas tais que $0 \leq a_{n} \leq b_{n}$ para todo $n$ . Então:
- Se $\sum b_{n}$ converge, então $\sum a_{n}$ também converge.
- Se $\sum a_{n}$ diverge, então $\sum b_{n}$ também diverge.

Exemplo: Considere a série $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n (n + 1)}$ . Podemos comparar com a série geométrica $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{2^{n}}$ , que converge. Note que:

\frac{1}{n (n + 1)} < \frac{1}{2^{n}}

para $n$ suficientemente grande. Como a série geométrica converge e os termos da série original são menores ou iguais aos termos da série geométrica, podemos concluir que $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n (n + 1)}$ também converge.

Teste de Comparação Assintótico

O Teste de Comparação Assintótico é útil quando a série em questão tem termos que se comportam como uma função conhecida para grandes valores de $n$ . Se $a_{n} \sim b_{n}$ (ou seja, $lim_{n \to \infty} \frac{a_{n}}{b_{n}} = 1$ ), então as séries $\sum a_{n}$ e $\sum b_{n}$ convergem ou divergem juntas.

Exemplo: Considere a série $\sum_{n = 2}^{\infty} \frac{1}{\ln (n)}$ . Podemos comparar com a série harmônica $\sum_{n = 2}^{\infty} \frac{1}{n}$ , que diverge. Note que:

lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{\ln (n)}}{\frac{1}{n}} = lim_{n \to \infty} \frac{n}{\ln (n)} = + \infty

o que indica que $\frac{1}{\ln (n)}$ cresce mais rápido do que $\frac{1}{n}$ , mas a divergência da série harmônica implica na divergência de nossa série original.

Teste de Comparação pelo Mínimo

O Teste de Comparação pelo Mínimo é útil quando se pode encontrar um termo mínimo $m_{n}$ que seja maior ou igual a todos os termos subsequentes e cuja convergência possa ser estabelecida.

Formulação: Sejam $\sum a_{n}$ e $\sum b_{n}$ duas séries infinitas tais que $0 \leq a_{n} \leq m_{n}$ para todo $n$ , onde ${m_{n}}$ é uma sequência decrescente que converge para zero. Então:
- Se $\sum m_{n}$ converge, então $\sum a_{n}$ também converge.
- Se $\sum a_{n}$ diverge, então $\sum m_{n}$ também diverge.

Exemplo: Considere a série $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{2} + n}$ . Podemos comparar com a série $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}$ , que converge. Note que:

\frac{1}{n^{2} + n} < \frac{1}{n^{2}}

para todo $n$ . Como a série $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}$ converge e os termos da série original são menores ou iguais aos termos dessa série, podemos concluir que $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{2} + n}$ também converge.