Teorema Fundamental do Cálculo

O Teorema Fundamental do Cálculo é uma das ideias mais importantes e poderosas em matemática, estabelecendo a relação entre a derivada e a integral. Ele consiste em dois princípios fundamentais:

Princípio I (Parte 1): Se $f$ é uma função contínua em um intervalo fechado $[a, b]$ , então a função $F$ definida por

F (x) = \int_{a}^{x} f (t) d t

é uma antiderivada de $f$ . Isso significa que $F^{'} (x) = f (x)$ para todo $x$ no intervalo $[a, b]$ .

Princípio II (Parte 2): Se $f$ é uma função contínua em um intervalo fechado $[a, b]$ , e se $F$ é qualquer antiderivada de $f$ no intervalo $[a, b]$ , então

\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a) .

Exemplos

Exemplo 1: Considere a função $f (x) = x^{2}$ . Podemos encontrar uma antiderivada de $f$ , que é $F (x) = \frac{x^{3}}{3} + C$ . De acordo com o Princípio I, se $G (x) = \int_{0}^{x} t^{2} d t$ , então

G^{'} (x) = x^{2} .

Exemplo 2: Para calcular a integral definida $\int_{1}^{3} (2 x + 1) d x$ , podemos usar o Princípio II. Uma antiderivada de $2 x + 1$ é $F (x) = x^{2} + x$ . Então,

\int_{1}^{3} (2 x + 1) d x = F (3) - F (1) = (3^{2} + 3) - (1^{2} + 1) = 9 + 3 - 1 - 1 = 10.

Aplicações Práticas

O Teorema Fundamental do Cálculo é crucial em muitas áreas da ciência e engenharia, pois permite a avaliação de integrais definidas sem o uso de limites de somatórios. Isso facilita enormemente o cálculo de áreas sob curvas, volumes de sólidos de revolução, e soluções de problemas envolvendo fluxos, trabalho, energia, entre outros.

Conclusão

O Teorema Fundamental do Cálculo é uma ferramenta essencial que conecta a teoria da derivada com a teoria da integral, permitindo um entendimento mais profundo dos conceitos fundamentais do cálculo.