Mínimos Quadrados

Ajuste de Curvas - Método dos Mínimos Quadrados

O método dos mínimos quadrados é uma técnica fundamental para o ajuste de curvas a conjuntos de dados experimentais. Ele consiste em encontrar uma função que represente da melhor forma os dados disponíveis, minimizando a soma dos quadrados dos erros, ou seja, a diferença entre os valores observados e os valores estimados pela função.

Esse método é amplamente utilizado em estatística, física, engenharia, economia e outras áreas que envolvem análise de dados e modelagem de relações entre variáveis.

Objetivo

Dado um conjunto de dados experimentais $(x_{1}, y_{1}), (x_{2}, y_{2}), \dots, (x_{n}, y_{n})$ , buscamos uma função $f (x)$ dentro de uma família predefinida (reta, polinômio, exponencial etc.) que minimize o erro quadrático total:

E (a_{0}, a_{1}, \dots, a_{k}) = \sum_{i = 1}^{n} {[y_{i} - f (x_{i})]}^{2}

Caso Mais Comum: Ajuste de Uma Reta ( $f (x) = a + b x$ )

Desejamos encontrar os coeficientes $a$ e $b$ da função linear que melhor se ajusta aos dados. Para isso, minimizamos:

E (a, b) = \sum_{i = 1}^{n} {[y_{i} - (a + b x_{i})]}^{2}

Sistema Normal

Derivando o erro em relação a $a$ e $b$ , e igualando as derivadas a zero (condição de mínimo), obtemos o sistema normal:

{\begin{cases} n a + b \sum x_{i} = \sum y_{i} a \sum x_{i} + b \sum x_{i}^{2} = \sum x_{i} y_{i} \end{cases}

Esse sistema pode ser resolvido por métodos algébricos tradicionais ou por métodos matriciais.

Forma Matricial Do Sistema

O sistema pode ser representado na forma matricial:

(\begin{matrix} N & \sum x_{i} \\ \sum x_{i} & \sum x_{i}^{2} \end{matrix}) (\begin{matrix} A \\ B \end{matrix}) (\begin{matrix} \sum y_{i} \sum x_{i} y_{i} \end{matrix})

Exemplo Numérico: Ajuste de Reta

Dado o conjunto de pontos:

$x$	$y$
1	2
2	3
3	5
4	4

Calculamos:

$n = 4$
$\sum x_{i} = 10$
$\sum y_{i} = 14$
$\sum x_{i}^{2} = 30$
$\sum x_{i} y_{i} = 39$

Sistema:

(\begin{matrix} 4 & 10 \\ 10 & 30 \end{matrix}) (\begin{matrix} A \\ B \end{matrix}) (\begin{matrix} 14 \\ 39 \end{matrix})

Resolvendo:

Multiplicando a primeira equação por 3:

12 a + 30 b = 42

Subtraindo da segunda equação:

(12 a + 30 b) - (10 a + 30 b) = 42 - 39 \Rightarrow 2 a = 3 \Rightarrow a = \frac{3}{2}

Substituindo:

4 \cdot \frac{3}{2} + 10 b = 14 \Rightarrow 6 + 10 b = 14 \Rightarrow b = \frac{8}{10} = 0, 8

Função ajustada:

f (x) = \frac{3}{2} + 0, 8 x

Caso Geral: Ajuste de um Polinômio de Grau $k$

Quando se deseja ajustar um polinômio de grau $k$ :

f (x) = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{k} x^{k}

O objetivo continua sendo minimizar:

E (a_{0}, \dots, a_{k}) = \sum_{i = 1}^{n} {[y_{i} - f (x_{i})]}^{2}

Isso gera um sistema linear de $k + 1$ equações, cujos coeficientes são obtidos com base nas somas dos termos das potências de $x$ e produtos $x^{j} y_{i}$ . O sistema gerado também pode ser resolvido por métodos matriciais:

A a = b

Onde:

$A$ é a matriz dos somatórios das potências de $x$ .
$a$ é o vetor dos coeficientes $(a_{0}, a_{1}, \dots, a_{k})^{T}$
$b$ é o vetor com os somatórios dos produtos $x_{i}^{j} y_{i}$ .

Exemplo Numérico: Ajuste Quadrático

Dado o mesmo conjunto de pontos:

$x$	$y$
1	2
2	3
3	5
4	4

Desejamos ajustar um polinômio de grau 2: $f (x) = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2}$

Calculamos:

$n = 4$
$\sum x_{i} = 10$
$\sum x_{i}^{2} = 30$
$\sum x_{i}^{3} = 100$
$\sum x_{i}^{4} = 354$
$\sum y_{i} = 14$
$\sum x_{i} y_{i} = 39$
$\sum x_{i}^{2} y_{i} = 137$

Sistema matricial:

(\begin{matrix} 4 & 10 & 30 \\ 10 & 30 & 100 \\ 30 & 100 & 354 \end{matrix}) (\begin{matrix} a_{0} \\ a_{1} \\ a_{2} \end{matrix}) (\begin{matrix} 14 \\ 39 \\ 137 \end{matrix})

Esse sistema pode ser resolvido por métodos diretos (eliminação de Gauss, decomposição LU) ou computacionalmente.

Considerações Finais

O método dos mínimos quadrados fornece uma solução ótima (em termos de erro quadrático) para funções lineares nos parâmetros.
O ajuste é sensível a valores atípicos (outliers), pois penaliza fortemente erros grandes.
É possível aplicar transformações aos dados para ajustar modelos não lineares.
Para polinômios de grau alto, pode ocorrer sobreajuste — o modelo se ajusta muito bem aos dados amostrados, mas generaliza mal.

Aplicações

Modelagem de fenômenos físicos (como movimento, crescimento populacional)
Previsão de tendências em séries temporais
Análise estatística e regressão
Engenharia e controle de processos

Arquivo Extra

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