Regra de Simpson (três oitavos)

Regra de Simpson de Três Oitavos

A regra de Simpson de três oitavos é uma fórmula numérica para aproximar a integral de uma função. Ela é usada quando não é possível encontrar a integral exata ou quando a função é complexa.

Fórmula

\int_{a}^{b} f (x) d x \approx \frac{h}{3} [(y_{0} + y_{n}) + 4 (y_{1} + y_{2} + . . . + y_{n - 1})]

onde:

$h = \frac{b - a}{n}$ é a largura da subintervalo
$n$ é o número de subintervalos
$y_{i} = f (x_{i})$ , onde $x_{i} = a + i h$

Exemplo

Suponha que desejamos encontrar a integral de $f (x) = x^{2}$ entre 0 e 4. Se dividirmos o intervalo em 4 subintervalos iguais, teremos:

$x_{i}$	$y_{i} = f (x_{i})$
0	0
1	1
2	4
3	9
4	16

Agora, podemos aplicar a regra de Simpson de três oitavos:

\int_{0}^{4} x^{2} d x \approx \frac{1}{3} [(0 + 16) + 4 (1 + 4 + 9)]

= \frac{1}{3} [16 + 4 (14)]

= \frac{1}{3} [16 + 56]

= \frac{72}{3}

= 24

A integral exata é $\frac{x^{3}}{3}$ entre 0 e 4, que é igual a 64/3. A regra de Simpson de três oitavos nos deu uma aproximação de 24, que está longe da resposta correta.

Observações

A regra de Simpson de três oitavos é mais precisa do que a regra de Simpson de um terço, mas menos precisa do que a regra de Simpson de dois terços.
Ela é usada quando não é possível encontrar a integral exata ou quando a função é complexa.
A precisão da regra depende do número de subintervalos e da escolha dos pontos de divisão.