Regra dos Trapézios

A regra dos trapezios é uma técnica de integração numérica utilizada para aproximar a área sob uma curva. Ela consiste em dividir o intervalo de integração em subintervalos menores, chamados de trapézios, e calcular a área de cada um desses trapézios.

Fórmula da Regra dos Trapezios

A fórmula da regra dos trapezios é dada por:

onde $h$ é a largura do trapézio e $n$ é o número de subintervalos.

Exemplo

Suponha que desejamos calcular a área sob a curva $y=x^2$ no intervalo $[0,2]$ com uma precisão de ${10}^{-3}$.

Passo 1: Dividir o Intervalo em Subintervalos

Dividimos o intervalo $[0,2]$ em subintervalos de largura $h=\frac{2-0}{n}=\frac{2}{n}$.

Passo 2: Calcular a Área de Cada Trapézio

Calculamos a área de cada trapézio usando a fórmula:

Passo 3: Somar as Áreas dos Trapézios

Somamos as áreas dos trapézios para obter a área aproximada:

Precisão da Regra dos Trapezios

A precisão da regra dos trapezios depende do número de subintervalos $n$. Quanto maior for $n$, mais precisa será a aproximação.

Tabela de Erro

A tabela de erro para a regra dos trapezios é dada por:

onde $\xi$ está no intervalo $[a,b]$.

Exemplo Implementado em Python

import numpy as np

def regra_dos_trapezios(f, a, b, n):
    h = (b - a) / n
    x = np.linspace(a, b, n+1)
    y = f(x)

    area = 0.5 * h * (y[0] + y[-1])
    for i in range(1, n):
        area += h * y[i]

    return area

# Defina a função f
def f(x):
    return x**2

# Calcule a área aproximada
a = 0
b = 2
n = 1000
area_aproximada = regra_dos_trapezios(f, a, b, n)

print("Área aproximada:", area_aproximada)

Essa implementação calcula a área aproximada sob a curva $y=x^2$ no intervalo $[0,2]$ com uma precisão de ${10}^{-3}$ utilizando a regra dos trapezios.

Arquivo Adicional

![[Regra dos Trapézios.pdf]]