Polinômio de Lagrange

Definição Do Polinômio de Lagrange

Dado um conjunto de pontos $(x_{1}, y_{1}), (x_{2}, y_{2}), \dots, (x_{n}, y_{n})$ , o polinômio de Lagrange é definido como:

P (x) = \sum_{i = 1}^{n} y_{i} L_{i} (x)

onde $L_{i} (x)$ é o polinômio de Lagrange associado ao ponto $(x_{i}, y_{i})$ . O polinômio de Lagrange é uma técnica matemática utilizada para interpolar pontos dados em um espaço bidimensional. Foi desenvolvido pelo matemático francês Joseph-Louis Lagrange no século XVIII.

Polinômio de Lagrange Individual

O polinômio de Lagrange individual é definido como:

L_{i} (x) = \prod_{j = 1}^{n} \frac{x - x_{j}}{x_{i} - x_{j}}

para $i \neq j$ e $0$ para $i = j$ . Isso garante que o polinômio seja igual a 1 no ponto $(x_{i}, y_{i})$ e zero em todos os outros pontos.

Exemplo de Cálculo Do Polinômio de Lagrange

Suponha que tenhamos os seguintes pontos: $(0, 2), (1, 3), (2, 5)$ . O polinômio de Lagrange pode ser calculado como:

\begin{aligned} L_{1} (x) & = \frac{(x - 1) (x - 2)}{(0 - 1) (0 - 2)} = - \frac{x^{2}}{2} + 3 x - 2 \\ L_{2} (x) & = \frac{(x - 0) (x - 2)}{(1 - 0) (1 - 2)} = x^{2} - 2 x \\ P (x) & = L_{1} (x) + L_{2} (x) + L_{3} (x) \\ = - \frac{x^{2}}{2} + 3 x - 2 + x^{2} - 2 x + (\frac{(x - 0) (x - 1)}{(2 - 0) (2 - 1)}) \\ = \frac{5 x^{2}}{2} - 4 x + 2 \end{aligned}

Interpolação com o Polinômio de Lagrange

O polinômio de Lagrange pode ser utilizado para interpolar os pontos dados. Para encontrar a interseção do gráfico da função $P (x)$ e o eixo y, basta calcular $P (0)$ . Além disso, podemos encontrar as raízes do polinômio calculando $x$ tal que $P (x) = 0$ .

Exemplo de Interpolação

Suponha que desejamos interpolar os pontos $(0, 2), (1, 3), (2, 5)$ . O polinômio de Lagrange foi calculado anteriormente como:

\frac{5 x^{2}}{2} - 4 x + 2

Para encontrar a interseção com o eixo y, basta calcular $P (0)$ :

P (0) = \frac{5 (0)^{2}}{2} - 4 (0) + 2 = 2

Portanto, a interseção do gráfico da função $P (x)$ e o eixo y é $(0, 2)$ .

Aplicação Prática Do Polinômio de Lagrange

O polinômio de Lagrange tem diversas aplicações práticas em áreas como:

Interpolação de dados: O polinômio de Lagrange pode ser utilizado para interpolar pontos dados e encontrar a função que os relaciona.
Aproximação de funções: O polinômio de Lagrange pode ser utilizado para aproximar funções complexas por meio da interpolação de pontos dados.
Análise de dados: O polinômio de Lagrange pode ser utilizado para analisar dados e encontrar padrões ou tendências.

Limitações Do Polinômio de Lagrange

O polinômio de Lagrange tem algumas limitações, como:

Só é válido para interpolação de pontos finitos: O polinômio de Lagrange só é válido para interpolar pontos finitos e não pode ser utilizado para interpolar funções contínuas.
Pode ter problemas de estabilidade: O polinômio de Lagrange pode ter problemas de estabilidade, especialmente quando o número de pontos a serem interpolados é grande.

Erro de Interpolação (Forma de Lagrange)

Dado um polinômio de interpolação P_n(x) que interpola f(x) nos pontos x_0, x_1, \dots, x_n, o erro de interpolação em um ponto x (não necessariamente um dos x_i) é dado por:

f (x) - P_{n} (x) = \frac{f^{(n + 1)} (ξ)}{(n + 1)!} \cdot ω_{n + 1} (x)

onde:

$ω_{n + 1} (x) = \prod_{i = 0}^{n} (x - x_{i})$
$ξ \in (a, b), c o m a \leq x_{i} \leq b e x \in [a, b]$
$f^{(n + 1)} (ξ)$ é a derivada de ordem n+1 da função f, avaliada em algum ponto \xi desconhecido dentro do intervalo.

Estimativa Do Limitante Superior Do Erro

Se for possível limitar $| f^{(n + 1)} (t) | \leq M$ para todo $t \in [a, b]$ , então o erro máximo (limitante superior) satisfaz:

| f (x) - P_{n} (x) | \leq \frac{M}{(n + 1)!} \cdot | (x - x_{0}) (x - x_{1}) \dots (x - x_{n}) |

Interpretação

O erro depende da regularidade da função (via a derivada f^{(n+1)}) e da distribuição dos pontos de interpolação.
Quanto mais suave for a função e mais bem distribuídos forem os pontos x_i, menor tende a ser o erro.
O termo $ω_{n + 1} (x)$ cresce com a distância de x aos nós $x_{i}$ , aumentando o erro fora do intervalo dos dados (extrapolação).

Exemplo

Seja f(x) = \ln(x), e queremos interpolar em [1, 2] com 3 pontos:

$x_{0} = 1, x_{1} = 1.5, x_{2} = 2$
Então $n = 2$ , e estamos usando um polinômio de grau 2.

A derivada de ordem 3 de $\ln (x)$ é:

f^{‴} (x) = \frac{2}{x^{3}}

Em $[1, 2]$ , temos:

max_{x \in [1, 2]} | f^{‴} (x) | = f^{‴} (1) = 2

Logo, para estimar o erro em $x = 1.3$ :

$ω_{3} (1.3) = (1.3 - 1) (1.3 - 1.5) (1.3 - 2) = (0.3) (- 0.2) (- 0.7) = 0.042$
$M = 2, (n+1)! = $3! = 6$ *

Erro estimado:

| f (1.3) - P_{2} (1.3) | \leq \frac{2}{6} \cdot 0.042 = \frac{1}{3} \cdot 0.042 = 0.014