Polinômio de Newton

Definição

O polinômio de Newton é definido como:

onde $x_i$ são os pontos de interpolação e $y_i$ são as respectivas funções.

Cálculo Do Polinômio

Para calcular o polinômio de Newton, é necessário seguir os seguintes passos:

1. Defina os pontos de interpolação: Escolha os pontos $x_0,x_1,\dots ,x_n$ onde deseja realizar a interpolação.
2. Calcule as diferenças divididas: Calcule as diferenças divididas $\frac{x_i-x_j}{x_k-x_j}$ para cada par de pontos $(x_i,x_j)$ e $(x_k,x_j)$.
3. Calcule os coeficientes do polinômio: Utilize as diferenças divididas para calcular os coeficientes do polinômio $P(x)$.

Exemplos

Interpolação de Funções

Suponha que deseja interpolar a função $f(x)=x^2+1$ nos pontos $x_0=-1,x_1=0,x_2=1$. O polinômio de Newton pode ser calculado como:

Interpolação de Dados

Suponha que deseja interpolar os dados $(x_0,y_0)=(2,3),(x_1,y_1)=(4,5),(x_2,y_2)=(6,7)$. O polinômio de Newton pode ser calculado como:

Propriedades Do Polinômio de Newton

• O polinômio de Newton é uma ferramenta matemática utilizada para aproximar funções e realizar interpolação.
• Ele é nomeado em homenagem ao matemático inglês Isaac Newton.
• O polinômio de Newton pode ser utilizado para interpolar funções e dados.

Aplicações Do Polinômio de Newton

• A interpolação de funções: o polinômio de Newton pode ser utilizado para aproximar funções em pontos específicos.
• A interpolação de dados: o polinômio de Newton pode ser utilizado para interpolar dados em pontos específicos.

Limitações Do Polinômio de Newton

• O polinômio de Newton é uma ferramenta matemática que tem limitações, como a necessidade de escolher os pontos de interpolação corretamente.
• Além disso, o polinômio de Newton pode não ser preciso em todos os casos.

Erro na Interpolação Polinomial de Newton

Dado um conjunto de pontos $x_0,x_1,\dots ,x_n$ distintos, e uma função $f$ interpolada por um polinômio de Newton $P_n(x)$, o erro da interpolação em um ponto $x$ (não necessariamente um dos $x_i$) é dado por:

com:

• $\xi \in [a,b]$, onde $x_0,x_1,\dots ,x_n,x\in [a,b]$,
• $f^{(n+1)}(\xi )$ é a derivada de ordem $(n+1)$ da função $f$ avaliada em algum ponto $\xi$ desconhecido.

Derivação Do Erro em Newton

A fórmula de Newton baseia-se em diferenças divididas:

Mas existe um resultado teórico importante:

A diferença dividida de ordem $n+1$, $f[x_0,x_1,\dots ,x_n,x]$, está relacionada com a derivada de ordem $(n+1)$ da função:

Assim, adicionando esse termo ao polinômio de grau $n$, temos a forma completa com erro:

Estimativa Do Erro (limitante superior)

Se $|f^{(n+1)}(t)|\le M$ em todo $t\in [a,b]$, então o erro máximo possível em $x$ é:

Exemplo

Interpole $f(x)=\cos (x)$ em $[0,\pi /2]$ com os pontos $x_0=0$, $x_1=\pi /4$, $x_2=\pi /2$.

Derivadas de $f(x)$:

• $f^{\prime }(x)=-\sin (x)$
• $f^{″}(x)=-\cos (x)$
• $f^{(3)}(x)=\sin (x)$

Logo, $|f^{(3)}(x)|\le 1$ para todo $x\in [0,\pi /2]$, então $M=1$.

Erro em $x=\pi /3$:

• $\omega (x)=(x-x_0)(x-x_1)(x-x_2)$
• Com $x=\pi /3$:

Então: