Teorema de Existência e Unicidade do Polinômio de Interpolação

Definição e Contexto

O teorema de existência e unicidade do polinômio de interpolação é um resultado fundamental na teoria da interpolação numérica. Este teorema garante que, sob certas condições, existe exatamente um polinômio de grau $n$ que passa por $n + 1$ pontos distintos no plano complexo.

Notação e Suposições

Sejam $x_{0}, x_{1}, \dots, x_{n}$ pontos distintos em $R$ (ou $C$ ) e $y_{0}, y_{1}, \dots, y_{n}$ valores associados a esses pontos. O problema de interpolação consiste em encontrar um polinômio $P (x)$ de grau menor ou igual a $n$ que satisfaz as condições:

P (x_{i}) = y_{i}, i = 0, 1, \dots, n .

Enunciado

Sejam dados $n + 1$ pontos distintos $(x_{0}, y_{0}), (x_{1}, y_{1}), \dots, (x_{n}, y_{n}) \in R^{2}$ , com $x_{i} \neq x_{j}$ para $i \neq j$ .

Então, existe um único polinômio $P \in R [x]$ , de grau no máximo $n$ , tal que:

P (x_{i}) = y_{i} para todo i = 0, 1, \dots, n .

Demonstração

1. Unicidade

Suponha que existam dois polinômios $P (x)$ e $Q (x)$ de grau $\leq n$ tais que:

P (x_{i}) = Q (x_{i}) = y_{i} para i = 0, 1, \dots, n .

Definimos $R (x) = P (x) - Q (x)$ . Então:

$R (x)$ é um polinômio de grau no máximo $n$ ,
$R (x_{i}) = P (x_{i}) - Q (x_{i}) = 0$ para cada $i$ .

Logo, $R (x)$ possui $n + 1$ raízes distintas, pois os $x_{i}$ são distintos.

Mas, um polinômio de grau $\leq n$ não pode ter mais que $n$ raízes distintas a menos que seja o polinômio nulo.

Portanto, $R (x) \equiv 0 \Rightarrow P (x) = Q (x)$ .

Conclusão: o polinômio interpolador é único.

2. Existência

Vamos construir explicitamente esse polinômio usando a fórmula de Lagrange:

P (x) = \sum_{i = 0}^{n} y_{i} \cdot L_{i} (x)

onde cada $L_{i} (x)$ é o polinômio base de Lagrange:

L_{i} (x) = \prod_{\begin{matrix} j = 0 j \neq i \end{matrix}}^{n} \frac{x - x_{j}}{x_{i} - x_{j}}

Cada $L_{i} (x)$ satisfaz:

$L_{i} (x_{i}) = 1$
$L_{i} (x_{j}) = 0$ para $j \neq i$

Assim, substituindo $x = x_{k}$ :

P (x_{k}) = \sum_{i = 0}^{n} y_{i} \cdot L_{i} (x_{k}) = y_{k} \cdot 1 + \sum_{i \neq k} y_{i} \cdot 0 = y_{k}

Logo, $P (x_{i}) = y_{i}$ para todos os $i$ .

Como $P (x)$ é combinação de polinômios de grau $n$ , então $\deg P \leq n$ .

Exemplo

Sejam os pontos $(1, 2)$ , $(2, 3)$ e $(4, 1)$ .

Construímos os polinômios de Lagrange:

$L_{0} (x) = \frac{(x - 2) (x - 4)}{(1 - 2) (1 - 4)} = \frac{(x - 2) (x - 4)}{3}$
$L_{1} (x) = \frac{(x - 1) (x - 4)}{(2 - 1) (2 - 4)} = \frac{(x - 1) (x - 4)}{- 2}$
$L_{2} (x) = \frac{(x - 1) (x - 2)}{(4 - 1) (4 - 2)} = \frac{(x - 1) (x - 2)}{6}$

Logo,

P (x) = 2 \cdot L_{0} (x) + 3 \cdot L_{1} (x) + 1 \cdot L_{2} (x)

Esse polinômio é de grau $2$ e satisfaz $P (1) = 2$ , $P (2) = 3$ , $P (4) = 1$ .