Métodos Iterativos

Formato Geral: $x^{(k+1)}=C{x}^{(k)}+g$

Neste formato, $x^{(k)}$ representa a solução aproximada no $k$-ésimo passo da iteração. A matriz $C$ e o vetor $g$ são parâmetros do método iterativo que podem variar dependendo do problema específico.

Relação com Os Métodos Iterativos Discutidos

1. Método de Gauss-Seidel:
   O Método de Gauss-Seidel pode ser expresso no formato $x^{(k+1)}=C{x}^{(k)}+g$. Aqui, a matriz $C$ é formada pelos elementos da matriz original $A$, mas com as entradas abaixo da diagonal nulas. O vetor $g$ contém os termos independentes do sistema.

2. Método de Jacobi:
   Similar ao Método de Gauss-Seidel, o Método de Jacobi também pode ser expresso no formato $x^{(k+1)}=C{x}^{(k)}+g$. A principal diferença é que na Jacobi, a matriz $C$ contém apenas os elementos da diagonal principal e acima dela (ou abaixo, dependendo do sistema), enquanto o vetor $g$ contém os termos independentes.

3. Método de Conjugados Gradientes (CG):
   Embora o CG seja mais complexo e não se encaixe diretamente no formato $x^{(k+1)}=C{x}^{(k)}+g$, ele pode ser visto como um método iterativo que minimiza a função quadrática associada ao sistema linear. No entanto, para simplificar, podemos considerar o CG como uma forma de resolver sistemas lineares iterativamente.

4. Método da Relaxação Sazonal (SOR):
   O SOR é uma extensão do Método de Gauss-Seidel e pode ser expresso no formato $x^{(k+1)}=C{x}^{(k)}+g$. Aqui, a matriz $C$ inclui um fator de relaxação $\omega$, que acelera a convergência. O vetor $g$ contém os termos independentes do sistema.

5. Método de Precondicionamento:
   O precondicionamento envolve a introdução de uma matriz $M$ para acelerar a convergência. No formato $x^{(k+1)}=C{x}^{(k)}+g$, a matriz $C$ é formada pela inversa da matriz de pré-condicionamento $M^{-1}$.

Convergência e Estabilidade

A convergência dos métodos iterativos depende das seguintes condições:

• Diagonal Dominância: Se a matriz $A$ for diagonal dominante, os métodos iterativos geralmente convergem.
• Matriz Simétrica Definida Positiva (SPD): Para sistemas SPD, o Método de Conjugados Gradientes é particularmente eficaz.
• Fator de Relaxação: No caso do SOR, o fator $\omega$ deve ser escolhido adequadamente para garantir a convergência.

Exemplo

Considere um sistema linear simples:

O Método de Gauss-Seidel pode ser expresso como:

Em forma matricial, isso pode ser escrito como:

onde

Exemplos de Métodos Iterativos

1. Método da Relaxação Sazonal (SOR - Successive Over-Relaxation):
   O SOR é uma extensão do método de Gauss-Seidel, onde um fator de relaxação $\omega$ é introduzido para acelerar a convergência. A fórmula geral é dada por:

onde $x^{(k)}$ é o vetor solução na iteração $k$, e $\omega$ é um parâmetro de relaxação.

2. Método de Conjugados Gradientes (CG - Conjugate Gradient):
   O CG é particularmente eficaz para sistemas simétricos definidos positivos. A ideia central é gerar uma sequência de direções conjugadas que minimizam a função quadrática associada ao sistema linear.

3. Método de Precondicionamento:
   O precondicionamento envolve a introdução de um operador $M$ para acelerar a convergência do método iterativo. A solução é obtida resolvendo o sistema modificado: