Teorema Condição Suficiente de Converência do Método de Gauss-Jacobi

O método de Gauss-Jacobi é uma técnica iterativa utilizada para resolver sistemas lineares da forma:

A x = b

onde $A$ é uma matriz quadrada de ordem $n$ , $b$ é o vetor dos termos independentes, e $x$ é o vetor incógnita que queremos determinar.

Ideia Do Método

A partir da decomposição da matriz $A$ em três componentes:

$D$ : matriz diagonal de $A$
$L$ : parte inferior (triangular) de $A$ com sinal negativo
$U$ : parte superior (triangular) de $A$ com sinal negativo

Podemos reescrever:

A = D + L + U

A fórmula iterativa do método de Gauss-Jacobi é:

x^{(k + 1)} = D^{- 1} (- L - U) x^{(k)} + D^{- 1} b

Condição Suficiente de Convergência

Uma condição suficiente para garantir a convergência do método é que a matriz $A$ seja diagonal dominante, ou seja:

| a_{i i} | > \sum_{j \neq i} | a_{i j} |

para todo $i = 1, 2, \dots, n$ .

Se essa condição for satisfeita, o método de Gauss-Jacobi converge para a solução do sistema, independentemente da escolha do vetor inicial $x^{(0)}$ .

Norma Matricial e Condição Necessária

Outra forma de analisar a convergência do método é usando a norma matricial. Seja:

T = D^{- 1} (L + U)

O método converge se a norma de $T$ for estritamente menor que 1:

| T | < 1

Uma norma comum utilizada é a norma infinita (ou norma do máximo):

| T |_{\infty} = max_{1 \leq i \leq n} \sum_{j = 1}^{n} | t_{i j} |

Se $| T |_{\infty} < 1$ , o método converge. Isso é uma condição suficiente, mas não necessária. De forma mais geral, a condição necessária e suficiente é que o raio espectral da matriz $T$ seja menor que 1:

ρ (T) = max_{i} | λ_{i} (T) | < 1

onde $λ_{i} (T)$ são os autovalores da matriz $T$ .

Exemplo 1

Considere o sistema linear:

{\begin{cases} 2 x_{1} + x_{2} - x_{3} = 5 \\ - x_{1} + 4 x_{2} + x_{3} = 7 \\ x_{1} - x_{2} + 6 x_{3} = 8 \end{cases}

A matriz $A$ e o vetor $b$ são:

A = (\begin{matrix} 2 & 1 & - 1 \\ - 1 & 4 & 1 \\ 1 & - 1 & 6 \end{matrix}), b = (\begin{matrix} 5 \\ 7 \\ 8 \end{matrix})

Verificando a diagonal dominância:

$| 2 | > | 1 | + | - 1 | \Rightarrow 2 > 2$ (falso)
$| 4 | > | - 1 | + | 1 | \Rightarrow 4 > 2$ (verdadeiro)
$| 6 | > | 1 | + | - 1 | \Rightarrow 6 > 2$ (verdadeiro)

A matriz não é estritamente diagonal dominante na primeira linha, mas o método pode ainda assim convergir dependendo do raio espectral de $T$ .

Exemplo 2

Considere o sistema:

{\begin{cases} 2 x_{1} - x_{2} = 1 \\ - x_{1} + 3 x_{2} - x_{3} = 2 \\ - 2 x_{2} + 4 x_{3} = 3 \end{cases}

Neste caso:

A = (\begin{matrix} 2 & - 1 & 0 \\ - 1 & 3 & - 1 \\ 0 & - 2 & 4 \end{matrix}), b = (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix})

As matrizes $D$ , $L$ e $U$ são:

D = (\begin{matrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{matrix})

L = (\begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ - 1 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 0 \end{matrix}), U = (\begin{matrix} 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix})

Calculando $T = D^{- 1} (L + U)$ , é possível verificar se a norma é menor que 1 e garantir a convergência.

Critérios Práticos de Parada

Na prática, a convergência do método é controlada por um critério de parada, como:

Erro absoluto entre iterações:

| x^{(k + 1)} - x^{(k)} | < ε

Erro residual:

| b - A x^{(k)} | < ε

onde $ε$ é uma tolerância previamente estabelecida.