Método das Secantes

O método das secantes é uma técnica iterativa utilizada para encontrar as raízes de uma função não-linear $f (x)$ . É semelhante ao método da secante geométrica, onde se traça uma reta que passa por dois pontos consecutivos na curva da função e usa essa reta para aproximar a solução.

Formulação Do Método

A fórmula iterativa do método das secantes é dada por:

x_{n + 1} = x_{n} - \frac{f (x_{n}) (x_{n} - x_{n - 1})}{f (x_{n}) - f (x_{n - 1})}

onde:

$x_{n}$ e $x_{n - 1}$ são os valores de $x$ na iteração atual e anterior, respectivamente.
$f (x)$ é a função cuja raiz estamos buscando.

Passos Do Método

Escolha Inicial dos Pontos:
- Selecione dois pontos iniciais próximos à raiz, geralmente denotados por $x_{0}$ e $x_{1}$ .
Iteração:
- Para cada iteração $n$ , calcule o próximo valor de $x_{n + 1}$ usando a fórmula acima.
Convergência:
- A iteração continua até que a diferença entre os valores consecutivos seja menor do que um critério de parada $ϵ$ :

| x_{n + 1} - x_{n} | < ϵ

Exemplo:
Considere a função $f (x) = x^{3} - 2 x - 5$ . Sejam os pontos iniciais $x_{0} = 2$ e $x_{1} = 2.5$ .
- Iteração 1:

f (2) = 2^{3} - 2 \cdot 2 - 5 = - 1

f (2.5) = (2.5)^{3} - 2 \cdot 2.5 - 5 = 4.875

x_{2} = 2.5 - \frac{4.875 (2.5 - 2)}{4.875 + 1} \approx 2.094

Iteração 2:

f (2.094) \approx (2.094)^{3} - 2 \cdot 2.094 - 5 \approx - 0.678

x_{3} = 2.094 - \frac{- 0.678 (2.094 - 2.5)}{- 0.678 + 4.875} \approx 2.094551

Aproximadamente, a raiz é $x \approx 2.094551$ .

Exemplo em Python

import math
import numpy


def secant_method(f, x0, x1, tol=1e-6, max_iter=100):
    """
    Find a root of the function f(x) = 0 using the Secant method.

    Parameters:
    f        -- Function for which the root is sought (callable)
    x0, x1   -- Initial approximations (floats)
    tol      -- Tolerance for stopping criterion (float, default 1e-6)
    max_iter -- Maximum number of iterations (int, default 100)

    Returns:
    result -- Dictionary with keys:
        'root'           : Approximated root (float)
        'function_value' : Value of f at the root (float)
        'iterations'     : Number of iterations performed (int)
        'converged'      : Boolean indicating if the method converged (bool)
    """
    fx0 = f(x0)
    fx1 = f(x1)
    iteration = 0
    while iteration < max_iter:
	# Check If The Denominator Is Too Close To Zero
        if abs(fx1 - fx0) < tol:
            return {
                'root': x1,
                'iterations': iteration,
                'function_value': fx1,
                'converged': abs(fx1) < tol
            }
		# Secant Method Formula
        x_new = x1 - fx1 * (x1 - x0) / (fx1 - fx0)
		# Update Values For Next Iteration
        x0, x1 = x1, x_new
        fx0, fx1 = fx1, f(x_new)
        iteration += 1
		# Check For Convergence
        if abs(fx1) < tol or (iteration > 0 and abs(x1 - x0) < tol):
            break
    return {
        'root': x1,
        'iterations': iteration,
        'function_value': fx1,
        'converged': iteration < max_iter
    }


if __name__ == "__main__":
    def example_function(x):
        return numpy.cos(x) - x

    result = secant_method(example_function, 0.5, 1, tol=1e-4)
    print(f"Approximate root: {result['root']}")
    print(f"Function value at the root: {result['function_value']}")
    print(f"Number of iterations: {result['iterations']}")
    print(f"Converged: {result['converged']}")

Arquivo Adicional

![[Método Secantes.pdf]]