Binômio de Newton

O binômio de Newton é um teorema fundamental da matemática que fornece uma maneira eficiente para expandir expressões do tipo $(a + b)^{n}$ , onde $a$ e $b$ são quaisquer números, variáveis ou expressões algébricas, e $n$ é um número inteiro não-negativo.

A fórmula do binômio de Newton pode ser escrita como:

(a + b)^{n} = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) a^{n - k} b^{k},

onde $(\binom{n}{k})$ é o coeficiente binomial, que representa o número de maneiras de escolher $k$ elementos de um conjunto com $n$ elementos. Este coeficiente pode ser calculado usando a fórmula:

(\binom{n}{k}) = \frac{n!}{k! (n - k)!} .

Por exemplo, considere a expansão de $(x + y)^{3}$ . Usando o binômio de Newton, temos:

(x + y)^{3} = \sum_{k = 0}^{3} (\binom{3}{k}) x^{3 - k} y^{k} .

Desenvolvendo esta expressão termo a termo, obtemos:

\begin{aligned} (x + y)^{3} & = (\binom{3}{0}) x^{3} y^{0} + (\binom{3}{1}) x^{2} y^{1} + (\binom{3}{2}) x^{1} y^{2} + (\binom{3}{3}) x^{0} y^{3} \\ = 1 \cdot x^{3} \cdot 1 + 3 \cdot x^{2} \cdot y + 3 \cdot x \cdot y^{2} + 1 \cdot 1 \cdot y^{3} \\ = x^{3} + 3 x^{2} y + 3 x y^{2} + y^{3} . \end{aligned}

Este exemplo ilustra como o binômio de Newton simplifica a expansão de expressões polinomiais, permitindo que sejam calculadas com facilidade e precisão.