Densidade de Probabilidade

A densidade de probabilidade é uma medida importante em teoria da probabilidade que descreve a distribuição de probabilidade de uma variável aleatória contínua. Ela fornece informações sobre a probabilidade de que a variável aleatória assuma valores dentro de um intervalo específico.

Definição

A densidade de probabilidade de uma variável aleatória contínua X é definida como:

f (x) = \frac{d}{d x} F (x)

onde F(x) é a função de distribuição acumulada (FAD) da variável aleatória X.

Exemplo

Suponha que tenhamos uma variável aleatória X que segue uma distribuição normal com média μ = 0 e desvio padrão σ = 1. A FAD dessa distribuição é dada por:

F (x) = \frac{1}{2} [1 + erf (\frac{x}{\sqrt{2}})]

onde erf é a função de erro.

A densidade de probabilidade dessa distribuição é então:

f (x) = \frac{d}{d x} F (x) = \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{- x^{2} / 2}

Relação com Funções de Probabilidade

A densidade de probabilidade está relacionada às funções de probabilidade ( $F P$ ) por meio da seguinte equação:

P (a \leq X \leq b) = \int_{a}^{b} f (x) d x

onde $P (a \leq X \leq b)$ é a probabilidade de que a variável aleatória X assuma valores entre a e b.

Caso Discreto

No caso de uma variável aleatória discreta, a densidade de probabilidade não existe. Em vez disso, usamos as funções de probabilidade ( $F P$ ) para descrever a distribuição da variável aleatória. A $F P$ é definida como:

P (X = x_{i}) = p_{i}

onde $x_{i}$ são os valores possíveis da variável aleatória e $p_{i}$ são as probabilidades associadas a esses valores.

A densidade de probabilidade pode ser vista como uma generalização das funções de probabilidade para o caso contínuo. Ela fornece informações sobre a distribuição da variável aleatória em um intervalo específico, enquanto as FP descrevem a distribuição da variável aleatória nos valores discretos.