Distribuição Gama

A distribuição Gama é um método estatístico utilizado para descrever e analisar dados, especialmente em contextos onde se deseja entender a variabilidade dos dados. Esta distribuição é frequentemente aplicada em campos como medicina, engenharia, ciências sociais e economia.

Características Principais

Definição:
- A distribuição Gama é uma família de curvas contínuas que são usadas para modelar variáveis não negativas com variação proporcional.
- É definida por dois parâmetros: o shape (forma) e o scale (escala).
Forma da Distribuição:
- A forma da distribuição Gama pode variar significativamente dependendo dos valores de seus parâmetros.
- Para valores baixos do parâmetro shape, a curva é assimétrica à direita e tem uma cauda longa.
- À medida que o shape aumenta, a curva se torna mais simétrica e a cauda se torna menos pronunciada.
Função de Densidade:

f (x; k, θ) = \frac{x^{k - 1} e^{- \frac{x}{θ}}}{θ^{k} Γ (k)}

Aqui, $k$ é o parâmetro shape e $θ$ é o parâmetro scale.
$Γ (k)$ é a Função Gama.

Momentos:
- A esperança (média) da distribuição Gama é $E (X) = k θ$ .
- O desvio padrão é $σ_{X} = \sqrt{k} θ$ .
Aplicações:
- Em estatística, a distribuição Gama é usada para modelar variáveis que representam tempos de espera ou quantidades que não podem ser negativas.
- Exemplos comuns incluem o tempo entre eventos em processos de Poisson, duração de falhas em componentes eletrônicos e volumes de vendas.
Relação com Outras Distribuições:
- A distribuição Gama é uma generalização da Distribuição Exponencial.
- Quando $k = 1$ , a distribuição Gama se torna a Distribuição Exponencial.
- Para valores inteiros de $k$ , a distribuição Gama pode ser expressa como a soma de $k$ variáveis exponenciais independentes.
Estimativa dos Parâmetros:
- Os parâmetros da distribuição Gama podem ser estimados usando métodos como o método dos momentos ou máxima verossimilhança.
- Estas técnicas envolvem a utilização de dados observados para ajustar os parâmetros $k$ e $θ$ .

Exemplo 1: Tempo de Recuperação Médica

Contexto: Em um estudo médico, os pesquisadores estão interessados no tempo até a recuperação completa dos pacientes após uma cirurgia. Suponha que o tempo de recuperação segue uma distribuição Gamma com parâmetros shape $k = 3$ e scale $θ = 2$ .

Distribuição Gama:

Parâmetro Shape ( $k$ ): 3
Parâmetro Scale ( $θ$ ): 2

A função de densidade de probabilidade (PDF) para este caso é:

f (x; 3, 2) = \frac{x^{3 - 1} e^{- \frac{x}{2}}}{2^{3} Γ (3)} = \frac{x^{2} e^{- \frac{x}{2}}}{8 \cdot 2!} = \frac{x^{2} e^{- \frac{x}{2}}}{16}

Análise:

Esperança (Média): $E (X) = k θ = 3 \times 2 = 6$
Desvio Padrão: $σ_{X} = \sqrt{k} θ = \sqrt{3} \times 2 \approx 3.46$

Interpretação:

A média de tempo de recuperação é 6 dias.
O desvio padrão é aproximadamente 3.46 dias.

Exemplo 2: Vida Útil de Componentes Eletrônicos

Contexto: Em engenharia, a vida útil de componentes eletrônicos pode ser modelada usando a distribuição Gamma. Suponha que a vida útil dos componentes segue uma distribuição Gamma com parâmetros shape $k = 5$ e scale $θ = 10$ .

Distribuição Gama:

Parâmetro Shape ( $k$ ): 5
Parâmetro Scale ( $θ$ ): 10

A função de densidade de probabilidade (PDF) para este caso é:

f (x; 5, 10) = \frac{x^{5 - 1} e^{- \frac{x}{10}}}{10^{5} Γ (5)} = \frac{x^{4} e^{- \frac{x}{10}}}{10^{5} \cdot 24} = \frac{x^{4} e^{- \frac{x}{10}}}{240000}

Análise:

Esperança (Média): $E (X) = k θ = 5 \times 10 = 50$
Desvio Padrão: $σ_{X} = \sqrt{k} θ = \sqrt{5} \times 10 \approx 22.36$

Interpretação:

A média de vida útil dos componentes é 50 dias.
O desvio padrão é aproximadamente 22.36 dias.

Função Geradora de Momentos para Distribuição Gama

Para a distribuição Gama com parâmetros shape ( $k$ ) e scale ( $θ$ ), a função geradora de momentos é dada por:

M_{X} (t) = {(1 - \frac{t}{θ})}^{- k} para t < θ

Cálculo dos Momentos

Os momentos da distribuição podem ser obtidos a partir da FGM. O $n$ -ésimo momento é dado pela derivada $n$ -ésima de $M_{X} (t)$ avaliada em $t = 0$ . Por exemplo:

Esperança (Primeiro Momento):
- A primeira derivada de $M_{X} (t)$ em $t = 0$ fornece a esperança da variável aleatória.

M_{X}^{'} (t) = k {(1 - \frac{t}{θ})}^{- k - 1} \cdot \frac{1}{θ}

Avaliando em $t = 0$ :

E (X) = M_{X}^{'} (0) = k \cdot \frac{1}{θ} = k θ

Segundo Momento:
- A segunda derivada de $M_{X} (t)$ em $t = 0$ fornece o segundo momento.

M_{X}^{″} (t) = k (k + 1) {(1 - \frac{t}{θ})}^{- k - 2} \cdot \frac{1}{θ^{2}}

Avaliando em $t = 0$ :

E (X^{2}) = M_{X}^{″} (0) + M_{X}^{'} (0) = k (k + 1) \cdot \frac{1}{θ^{2}} + k \cdot \frac{1}{θ} = k (k + 1) \cdot \frac{1}{θ^{2}} + k \cdot \frac{1}{θ}

Desvio Padrão:

O desvio padrão é a raiz quadrada da variância, que pode ser calculada como $\sqrt{E (X^{2}) - (E (X))^{2}}$ .

σ_{X} = \sqrt{k (k + 1) θ^{2} / θ^{2} + k θ - (k θ)^{2}} = \sqrt{k θ^{2}} = \sqrt{k} θ

Aplicações Práticas

A FGM é útil em várias aplicações, incluindo:

Estimação de Parâmetros: Através da equação logarítmica da FGM, os parâmetros $k$ e $θ$ podem ser estimados a partir dos dados observados.
Análise de Dados: A FGM pode ser usada para verificar se uma amostra segue aproximadamente a distribuição Gama.

Exemplo Prático

Considere um exemplo onde a vida útil de componentes eletrônicos segue uma distribuição Gamma com parâmetros $k = 5$ e $θ = 10$ . A FGM é:

M_{X} (t) = {(1 - \frac{t}{10})}^{- 5} para t < 10

A esperança (média) pode ser calculada como:

E (X) = M_{X}^{'} (0) = 5 \cdot \frac{1}{10} = 50

O desvio padrão é:

σ_{X} = \sqrt{k} θ = \sqrt{5} \times 10 \approx 22.36