Distribuição Log-Normal

Seja $X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$. Considere uma nova variável aleatória $Y=e^X$, dizemos que $Y$ tem distribuição log-normal com parâmetros $m$ (o valor médio do logaritmo de $Y$) e $r$ (a desvio padrão do logaritmo de $Y$), onde $\sigma >0$. A notação para essa distribuição é $Y\sim \text{Log-Normal}(m,r^2)$.

A função de densidade de probabilidade (f.d.p.) da variável aleatória $Y$ log-normal é dada por:

Propriedades da Distribuição Log-normal

1. Esperança:
   A esperança de $Y$ é dada por:

   $$E[Y]=e^{m+\frac{{\sigma }^2}{2}}.$$

2. Variância:
   A variância de $Y$ é dada por:

   $$\text{Var}(Y)=(e^{{\sigma }^2}-1)e^{2m+{\sigma }^2}.$$

3. Mediana:
   A mediana da distribuição log-normal é igual ao parâmetro $m$:

   $$\text{Med}(Y)=e^m.$$

4. Moda:
   A moda da distribuição log-normal ocorre no ponto:

   $$y_{\text{mod}}=e^{m-{\sigma }^2}.$$

5. Função de Distribuição Cumulativa (FDC):
   A função de distribuição cumulativa $F_Y(y)$ é dada por:

   $$F_Y(y)=\mathrm{\Phi }\left(\frac{\ln y-m}{r}\right),$$

   onde $\mathrm{\Phi }(z)$ é a função de distribuição acumulada da distribuição normal padrão.

Exemplos

1. Aplicação em Finanças:
   A distribuição log-normal é frequentemente usada para modelar os retornos financeiros, pois esses retornos são positivos e tendem a seguir uma distribuição não simétrica.

2. Exemplo de Cálculo:
   Se $X\sim N(0,1)$, então $Y=e^X$ segue uma distribuição log-normal com parâmetros $m=0$ e $r=1$. A f.d.p. de $Y$ é:

   $$f_Y(y)=\frac{1}{y\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{{\ln }^{2}y}{2}},y>0.$$

3. Cálculo da Esperança:
   Para o exemplo acima, a esperança de $Y$ é:

   $$E[Y]=e^{0+\frac{1^2}{2}}=e^{0.5}\approx 1.6487.$$

Condições de Existência

A distribuição log-normal existe se $m-r^2<0$, ou seja, se o parâmetro $m$ é menor que a variância $r^2$. Isso garante que a esperança e a variância existam.