Distribuição Normal

A distribuição normal (também conhecida como distribuição gaussiana) é uma das distribuições de probabilidade mais importantes e amplamente utilizadas na estatística. Ela descreve a distribuição de frequência de um grande número de fenômenos naturais e sociais que são influenciados por muitas variáveis independentes.

Características da Distribuição Normal

1. Simetria:

   • A distribuição normal é simétrica em torno do seu valor médio (ou média), denotado como $\mu$.
   • Isso significa que a curva de probabilidade é simétrica ao redor do eixo vertical passando por $\mu$.

2. Curva da Distribuição:

   • A função densidade de probabilidade (PDF) da distribuição normal é dada pela expressão:$$f(x;\mu ,{\sigma }^2)=\frac{1}{\sqrt{2\pi {\sigma }^2}}{e}^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}$$
   • Aqui, $\sigma$ é a desvio padrão da distribuição.

3. Valores Padrão:

   • A distribuição normal padrão ocorre quando $\mu =0$ e $\sigma =1$. Sua PDF simplifica para:$$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{x^2}{2}}$$

4. Área Total:

   • A área total sob a curva da distribuição normal é igual a 1, representando a probabilidade total de todos os possíveis valores.

Derivação da Distribuição Normal

A derivada da distribuição normal pode ser entendida a partir do limite de outras distribuições. Uma das maneiras mais comuns de derivar a distribuição normal é através do Teorema Central do Limite (TCL).

1. Teorema Central do Limite:

   • O TCL afirma que, para uma grande amostra, a média amostral de um conjunto de variáveis aleatórias independentes tende a seguir uma distribuição normal, independente da distribuição original das variáveis.

2. Derivação a Partir de Distribuições Exponenciais:

   • Considere uma sequência de variáveis aleatórias $X_1,X_2,\dots ,X_n$ independentes e identicamente distribuídas (i.i.d.) com média $\mu$ e desvio padrão $\sigma$. A soma dessas variáveis pode ser normalizada para formar uma nova variável:$$Z=\frac{\sum _{i=1}^n{X}_i-n\mu }{\sqrt{n}\sigma }$$
   • À medida que $n$ aumenta, a distribuição de $Z$ converge para uma distribuição normal com média 0 e desvio padrão 1.

3. Derivação a Partir de Distribuições Uniformes:

   • Outra forma é considerar a soma de variáveis uniformemente distribuídas. A transformação adequada resulta em uma distribuição aproximadamente normal para grandes $n$.

Exemplos

• Exemplo 1: Média de Notas Acadêmicas:

  • Suponha que as notas dos alunos em um exame são distribuídas normalmente com média $\mu =70$ e desvio padrão $\sigma =15$. A probabilidade de um aluno tirar uma nota entre 60 e 80 pode ser calculada usando a função PDF da distribuição normal.

• Exemplo 2: Medidas Físicas:

  • As medidas físicas, como o comprimento de folhas de papel, tendem a seguir uma distribuição normal. Se a média do comprimento é $\mu =21$ cm e o desvio padrão é $\sigma =0.5$ cm, podemos usar a distribuição normal para calcular probabilidades específicas.