Distribuição T-Student

A distribuição T de Student é uma distribuição de probabilidade contínua utilizada para testar hipóteses sobre a média de uma população quando a amostra é pequena e a variância da população não é conhecida.

Definição

A distribuição T de Student é definida como:

t = \frac{\bar{x} - μ}{s / \sqrt{n}}

onde:

$\bar{x}$ é a média amostral;
$μ$ é a média da população;
$s$ é o desvio-padrão amostral;
$n$ é o tamanho da amostra.

Parâmetros

A distribuição T de Student tem dois parâmetros:

$k = n - 1$ , que é o grau de liberdade;
$ν = k$ , que é o grau de liberdade.

Propriedades

Algumas propriedades importantes da distribuição T de Student incluem:

Simetria: A distribuição T de Student é simétrica em relação ao eixo dos x.
Moda: A moda da distribuição T de Student é zero.
Escala: A escala da distribuição T de Student depende do grau de liberdade.

Exemplos

Exemplo 1: Uma empresa quer testar se a média salarial de seus funcionários é maior que R$ 2.000,00. Uma amostra de 25 funcionários tem uma média salarial de R$ 2.500,00 e um desvio-padrão de R$ 300,00. A variância da população não é conhecida.

Nesse caso, podemos usar a distribuição T de Student para testar a hipótese:

H_{0} : μ = 2000

Com uma amostra de tamanho $n = 25$ , o grau de liberdade é $k = n - 1 = 24$ .

Exemplo 2: Uma pesquisa quer avaliar se a média de tempo que os usuários passam em um aplicativo móvel é maior que 30 minutos. Uma amostra de 50 usuários tem uma média de tempo de 35 minutos e um desvio-padrão de 10 minutos.

Nesse caso, podemos usar a distribuição T de Student para testar a hipótese:

H_{0} : μ = 30

Com uma amostra de tamanho $n = 50$ , o grau de liberdade é $k = n - 1 = 49$ .

Aplicação

A distribuição T de Student é amplamente utilizada em estatística para testar hipóteses sobre a média de uma população quando a amostra é pequena e a variância da população não é conhecida. Além disso, ela também é usada para calcular intervalos de confiança para a média de uma população.

Referências

Fisher, R.A. (1925). Statistical Methods for Research Workers. Edinburgh: Oliver and Boyd.
Student (1908). "The probable error of a mean". Biometrika, 6(2), 1-25.