Função de Distribuição Acumulada

A função de distribuição acumulada (CDF) para variáveis contínuas, como a normal, é uma ferramenta fundamental em estatística que permite determinar a probabilidade de uma variável aleatória contínua assumir valores menores ou iguais a um valor específico.

Definição Formal

A CDF, denotada por $F(x)$, é definida como:

para todo $x\in \mathbb{R}$. Ela representa a probabilidade acumulada até o ponto $x$.

Relação com a Função de Densidade de Probabilidade (PDF)

A CDF é obtida integrando a função densidade de probabilidade (PDF) da variável contínua do ponto negativo infinito ao ponto $x$:

Onde $f(t)$ é a PDF.

Caso da Distribuição Normal

Para a distribuição normal padrão ($N(\mu ,{\sigma }^2)$), a CDF não possui uma expressão fechada simples. No entanto, ela pode ser calculada usando métodos numéricos ou referringindo-se à tabela de valores padronizados.

Exemplo Prático

Considerando uma variável $X\sim N(8,4)$, para calcular $P(X\le 10)$:

Isso pode ser determinado usando a CDF da distribuição normal, que geralmente é implementada em softwares estatísticos ou calculadoras.

Características Importantes

• A CDF é uma função não-decrescente.
• Ela é contínua para variáveis contínuas.
• Valores da CDF variam de 0 a 1.

A CDF é essencial em aplicativos estatísticos, como testes de hipótese e cálculos de intervalos de confiança.