Função Gama

A função gama, denotada por $Γ (z)$ , é uma extensão do conceito de fatorial para números complexos. Foi introduzida pelo matemático Leonhard Euler em 1729. A definição fundamental da função gama é dada pela integral:

Γ (z) = \int_{0}^{\infty} t^{z - 1} e^{- t} d t,

onde $z$ é um número complexo com parte real positiva.

Propriedades Principais

Relação com o Fatorial:
Para números inteiros positivos $n$ , a função gama satisfaz $Γ (n) = (n - 1)!$ . Por exemplo, $Γ (5) = 4! = 24$ .
Recursividade:
A função gama também possui uma propriedade recursiva dada por:

Γ (z + 1) = z Γ (z) .

Identidade de Euler:
Uma das identidades mais famosas envolvendo a função gama é a fórmula de Euler, que relaciona o valor da função gama em um número complexo $z$ com a constante de Euler-Mascheroni $γ$ e a série harmônica:

Γ (z + 1) = z Γ (z) = \frac{e^{- γ z}}{z} \prod_{n = 1}^{\infty} {(1 + \frac{z}{n})}^{- 1} e^{z / n},

onde $γ$ é a constante de Euler-Mascheroni.

Simetria:
A função gama possui uma simetria interessante em relação ao plano complexo, dada pela relação:

Γ (z) Γ (1 - z) = \frac{π}{\sin (π z)} .

Valores Especiais:
Existem vários valores especiais da função gama que são úteis em aplicações práticas, como $Γ (1 / 2) = \sqrt{π}$ .
Convergência:
A integral definindo a função gama converge para todos os números complexos $z$ com parte real positiva. Para outros valores de $z$ , a função é estendida por análise complexa, garantindo sua continuidade em todo o plano complexo exceto nos pontos negativos inteiros.

A função gama desempenha um papel crucial na matemática aplicada e teórica, aparecendo frequentemente em áreas como probabilidade, física teórica, e análise complexa.