Distribuição Binomial

A distribuição binomial é um conceito fundamental na teoria das probabilidades, utilizado para modelar experimentos aleatórios com duas possíveis saídas: sucesso ou fracasso. Este modelo é amplamente aplicado em diversas áreas, como estatística, ciências sociais e engenharia.

Definição Formal

Seja $X$ uma variável aleatória que representa o número de sucessos em $n$ experimentos independentes. Se a probabilidade de sucesso em cada experimento é $p$ , então $X$ segue uma distribuição binomial com parâmetros $n$ e $p$ . Isto é, $X \sim B (n, p)$ .

A função de probabilidade da variável aleatória $X$ é dada por:

P (X = k) = (\binom{n}{k}) p^{k} (1 - p)^{n - k}

onde:

$(\binom{n}{k})$ é o coeficiente binomial, que representa o número de maneiras de escolher $k$ sucessos em $n$ tentativas.
$p$ é a probabilidade de sucesso em cada tentativa.
$1 - p$ é a probabilidade de fracasso.

Características Principais

Experimento Independente: Cada tentativa do experimento é independente das outras. O resultado de uma tentativa não afeta o resultado das demais.
Dois Únicos Resultados Possíveis: Em cada tentativa, há apenas dois resultados possíveis: sucesso (com probabilidade $p$ ) ou fracasso (com probabilidade $q = 1 - p$ ).
Número Fixo de Tentativas: O experimento é composto por um número fixo $n$ de tentativas.

Exemplo de Cálculo

Suponha que uma moeda justa seja lançada 5 vezes e queremos calcular a probabilidade de obter exatamente 3 caras. Aqui, $n = 5$ , $k = 3$ e $p = 0.5$ .

A probabilidade é calculada como:

P (X = 3) = (\binom{5}{3}) (0.5)^{3} (1 - 0.5)^{5 - 3}

Calculando o coeficiente binomial:

(\binom{5}{3}) = \frac{5!}{3! (5 - 3)!} = 10

Então, a probabilidade é:

P (X = 3) = 10 \cdot (0.5)^{3} \cdot (0.5)^{2} = 10 \cdot 0.125 \cdot 0.25 = 0.3125

Portanto, a probabilidade de obter exatamente 3 caras em 5 lançamentos é $0.3125$ .

Propriedades

Esperança (E(X)): A esperança da variável binomial $X$ é dada por:

E (X) = n p

Isso significa que, no longo prazo, a média dos resultados de $n$ tentativas será aproximadamente igual a $n p$ .

Variância (Var(x)): A variância da variável binomial $X$ é dada por:

V a r (X) = n p (1 - p)

Isso indica que a dispersão dos resultados em torno da média diminui à medida que $n$ aumenta, mas o efeito de $p$ (probabilidade de sucesso) também deve ser considerado.

Momento Gerador (Mx(t)): A função geradora de momentos da variável binomial $X$ é dada por:

M_{X} (t) = (1 - p + p e^{t})^{n}

Esta função pode ser usada para calcular outros momentos estatísticos, como a esperança e a variância.

Aplicações Práticas

A distribuição binomial tem diversas aplicações práticas. Por exemplo:

Estatística Médica: Para avaliar a eficácia de um medicamento em uma amostra de pacientes.
Ciências Sociais: Para estudar comportamentos sociais, como o voto em eleições.
Engenharia de Qualidade: Para controlar a qualidade de produtos em uma linha de produção.