Distribuição Binomial Negativa

A Distribuição Binomial Negativa é uma generalização da Distribuição Geométrica e descreve o número de fracassos até a ocorrência do $r$ -ésimo sucesso em uma sequência de ensaios de Bernoulli independentes, nos quais cada tentativa resulta em sucesso com probabilidade $p$ e fracasso com probabilidade $q = 1 - p$ .

Definição e Parâmetros

A variável aleatória $X \sim Binomial Negativa (r, p)$ representa o número de fracassos antes de ocorrer o $r$ -ésimo sucesso. Os parâmetros da distribuição são:

$r$ : número de sucessos desejados (inteiro positivo).
$p$ : probabilidade de sucesso em cada ensaio ( $0 < p \leq 1$ ).

A função de massa de probabilidade é dada por:

P (X = k) = (\binom{k + r - 1}{k}) p^{r} (1 - p)^{k}, k = 0, 1, 2, \dots

Observação: Algumas fontes definem $X$ como o número total de ensaios até o $r$ -ésimo sucesso. Neste caso, $X$ assume valores $r, r + 1, r + 2, \dots$ e a função de probabilidade se adapta para refletir isso.

Características e Propriedades

Independência: Cada ensaio é realizado de forma independente.
Probabilidade constante: A chance de sucesso $p$ permanece inalterada em todos os ensaios.
Número de sucessos fixo: A experiência prossegue até que ocorra exatamente $r$ sucessos, independentemente do número de fracassos.
Esperança (Média):

E (X) = r \cdot \frac{1 - p}{p}

Variância:

Var (X) = r \cdot \frac{1 - p}{p^{2}}

Exemplos

Exemplo 1: Lançamento de Moeda

Suponha que uma moeda justa ( $p = 0.5$ ) seja lançada repetidamente até obter 3 caras. A distribuição binomial negativa modela a quantidade de coroas (fracassos) antes de obter essas 3 caras ( $r = 3$ ). Aqui, $X$ conta o número de fracassos antes do terceiro sucesso.

Exemplo 2: Processo Industrial

Em uma linha de produção, cada peça tem 10% de chance de ser defeituosa ( $p = 0.1$ para o “sucesso” = peça defeituosa). Queremos saber quantas peças boas serão produzidas antes que se observe a terceira peça defeituosa ( $r = 3$ ). A variável aleatória $X$ segue uma distribuição binomial negativa e representa o número de peças boas (fracassos) antes do terceiro defeito.

Relações com Outras Distribuições

Distribuição Geométrica: Caso especial da binomial negativa com $r = 1$ , modelando o número de fracassos até o primeiro sucesso.
Distribuição Binomial: Modela o número de sucessos em um número fixo de ensaios. A binomial negativa, por outro lado, fixa o número de sucessos e deixa variável o número de fracassos (ou tentativas).