Distribuição de Bernoulli
A distribuição de Bernoulli é uma distribuição de probabilidade discreta que descreve experimentos com apenas dois resultados possíveis: sucesso ou fracasso. Um exemplo clássico é o lançamento de uma moeda, onde a face "cara" pode ser considerada um sucesso e a face "coroa" um fracasso.
Parâmetro : A distribuição de Bernoulli é definida por um único parâmetro, que é a probabilidade de sucesso, denotado por p
Se o experimento resultar em sucesso, a variável aleatória assume o valor 1.
Se o experimento resultar em fracasso, a variável aleatória assume o valor 0.
Função de Probabilidade :
é á ó ç o n d e $ X $ é a v a r i á v e l a l e a t ó r i a e $ k ∈ { 0 , 1 } $ . − ∗ ∗ E s p e r a n ç a ∗ ∗ : E[X] = p
ç ç ã é ç ã A e s p e r a n ç a d e u m a d i s t r i b u i ç ã o d e B e r n o u l l i é s i m p l e s m e n t e a p r o b a b i l i d a d e d e s u c e s s o . − ∗ ∗ V a r i a ç ã o ∗ ∗ : Var(X) = p(1-p)
You can't use 'macro parameter character #' in math mode A variação (ou variância) mede o desvio dos valores da variável aleatória em relação à sua esperança. Para uma distribuição de Bernoulli, a variação é dada pela expressão acima. ### Função de Distribuição de Probabilidade Múltipla (FGM) A **Função de Distribuição de Probabilidade Múltipla** (FGM) é um conceito mais avançado que generaliza a distribuição binomial para múltiplos experimentos. É frequentemente usada em teoria estatística e probabilidade. - **Definição**: A FGM é uma função que descreve a probabilidade conjunta de vários eventos ocorrendo simultaneamente. - Se $X_1, X_2, \ldots, X_n$ são variáveis aleatórias binomiais independentes, a FGM pode ser usada para calcular a probabilidade de um conjunto específico dessas variáveis ocorrerem. - **Forma Geral**: A variação (ou variância) mede o desvio dos valores da variável aleatória em relação à sua esperança. Para uma distribuição de Bernoulli, a variação é dada pela expressão acima. ### Função de Distribuição de Probabilidade Múltipla (FGM) A **Função de Distribuição de Probabilidade Múltipla** (FGM) é um conceito mais avançado que generaliza a distribuição binomial para múltiplos experimentos. É frequentemente usada em teoria estatística e probabilidade. - **Definição**: A FGM é uma função que descreve a probabilidade conjunta de vários eventos ocorrendo simultaneamente. - Se $X_1, X_2, \ldots, X_n$ são variáveis aleatórias binomiais independentes, a FGM pode ser usada para calcular a probabilidade de um conjunto específico dessas variáveis ocorrerem. - **Forma Geral**: P(X_1 = x_1, X_2 = x_2, \ldots, X_n = x_n)
You can't use 'macro parameter character #' in math mode onde $x_i \in \{0, 1\}$. ### Esperança e Variação - **Esperança**: A esperança é uma medida de localização que representa o valor médio esperado da variável aleatória. Para uma distribuição de Bernoulli, a esperança é $E[X] = p$. Em geral, para qualquer variável aleatória discreta $X$ com função de probabilidade $P(X = x_i) = p_i$, a esperança é dada por: onde $x_i \in \{0, 1\}$. ### Esperança e Variação - **Esperança**: A esperança é uma medida de localização que representa o valor médio esperado da variável aleatória. Para uma distribuição de Bernoulli, a esperança é $E[X] = p$. Em geral, para qualquer variável aleatória discreta $X$ com função de probabilidade $P(X = x_i) = p_i$, a esperança é dada por: E[X] = \sum_{i} x_i p_i
ç ã ç ã â á ó ç ã à ç ç ã ç ã é á ó ç ã é − ∗ ∗ V a r i a ç ã o ∗ ∗ : A v a r i a ç ã o ( o u v a r i â n c i a ) m e d e o d e s v i o d o s v a l o r e s d a v a r i á v e l a l e a t ó r i a e m r e l a ç ã o à s u a e s p e r a n ç a . P a r a u m a d i s t r i b u i ç ã o d e B e r n o u l l i , a v a r i a ç ã o é $ V a r ( X ) = p ( 1 − p ) $ . E m g e r a l , p a r a q u a l q u e r v a r i á v e l a l e a t ó r i a d i s c r e t a $ X $ , a v a r i a ç ã o é d a d a p o r : Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2
You can't use 'macro parameter character #' in math mode onde $E[X^2] = \sum_{i} x_i^2 p_i$. ### Exemplo Considere um experimento em que uma moeda justa é lançada duas vezes. A variável aleatória $X$ representa o número de caras obtidas. - **Distribuição de Bernoulli**: Para cada lançamento, a distribuição de Bernoulli tem parâmetro $p = 0.5$. - **FGM**: Se $X_1$ e $X_2$ representam os resultados dos dois lançamentos (cara ou coroa), a FGM pode ser usada para calcular a probabilidade conjunta de ambos os eventos ocorrerem. - **Esperança e Variação**: - Esperança: $E[X] = 1 \cdot P(X=1) + 0 \cdot P(X=0) = p(1-p) + p^2 = 2p - p^2$ - Variação: $Var(X) = (1-2p+p^2) - (2p-p^2)^2 = p(1-p)$ onde $E[X^2] = \sum_{i} x_i^2 p_i$. ### Exemplo Considere um experimento em que uma moeda justa é lançada duas vezes. A variável aleatória $X$ representa o número de caras obtidas. - **Distribuição de Bernoulli**: Para cada lançamento, a distribuição de Bernoulli tem parâmetro $p = 0.5$. - **FGM**: Se $X_1$ e $X_2$ representam os resultados dos dois lançamentos (cara ou coroa), a FGM pode ser usada para calcular a probabilidade conjunta de ambos os eventos ocorrerem. - **Esperança e Variação**: - Esperança: $E[X] = 1 \cdot P(X=1) + 0 \cdot P(X=0) = p(1-p) + p^2 = 2p - p^2$ - Variação: $Var(X) = (1-2p+p^2) - (2p-p^2)^2 = p(1-p)$