Distribuição Geométrica

Considere que vamos realizar ensaios independentes de Bernoulli até a ocorrência do primeiro sucesso. Cada ensaio é um experimento binomial, onde há apenas dois possíveis resultados: sucesso ou fracasso. A probabilidade de sucesso em cada ensaio é denotada por $p$ , e consequentemente, a probabilidade de fracasso é $1 - p = q$ .

Distribuição Geométrica

A distribuição geométrica descreve o número de ensaios necessários para obter o primeiro sucesso. Seja $X$ a variável aleatória que representa o número de ensaios até o primeiro sucesso. A função de probabilidade da distribuição geométrica é dada por:

P (X = k) = (1 - p)^{k - 1} p, k = 1, 2, 3, \dots

Onde:

$k$ é o número de ensaios até o primeiro sucesso.
$p$ é a probabilidade de sucesso em cada ensaio.

Exemplo

Suponha que uma moeda justa seja lançada repetidamente até obter a primeira cabeça (sucesso). A probabilidade de obter uma cabeça ( $p = 0.5$ ) e a probabilidade de obter uma coroa ( $q = 0.5$ ) são iguais.

A probabilidade de obter o primeiro sucesso no primeiro lançamento é:

P (X = 1) = (1 - 0.5)^{1 - 1} \cdot 0.5 = 0.5

A probabilidade de obter o primeiro sucesso no segundo lançamento é:

P (X = 2) = (1 - 0.5)^{2 - 1} \cdot 0.5 = {0.5}^{2} \cdot 0.5 = 0.25

Parâmetros e Propriedades

A distribuição geométrica é completamente determinada pelo único parâmetro $p$ , que representa a probabilidade de sucesso em cada ensaio.

Esperança (Média): A esperança da variável aleatória $X$ é:

E (X) = \frac{1}{p}

Variação: A variância da variável aleatória $X$ é:

V a r (X) = \frac{q}{p^{2}} = \frac{1 - p}{p^{2}}

Aplicações Práticas

A distribuição geométrica tem diversas aplicações em problemas reais, como:

Probabilidade de obter o primeiro sucesso em experimentos repetidos: Por exemplo, a probabilidade de um jogador de basquete marcar seu primeiro arremesso no jogo.
Tempo até a ocorrência do primeiro evento específico: Como o tempo até que um cliente entre em uma loja após o início da operação.

Cálculo da Esperança a Partir da Função Geradora de Momentos

A função geradora de momentos (FGM) de uma variável aleatória discreta $X$ é definida como:

M_{X} (t) = E [e^{t X}]

Para a distribuição geométrica, onde $X$ representa o número de ensaios até o primeiro sucesso, com $P (X = k) = (1 - p)^{k - 1} p$ , temos:

M_{X} (t) = \sum_{k = 1}^{\infty} e^{t k} (1 - p)^{k - 1} p

Essa soma pode ser manipulada como uma série geométrica. Reescrevendo:

M_{X} (t) = p e^{t} \sum_{k = 0}^{\infty} {[(1 - p) e^{t}]}^{k} = \frac{p e^{t}}{1 - (1 - p) e^{t}}, para e^{t} < \frac{1}{1 - p}

Para obter a esperança $E (X)$ a partir da FGM, basta derivar $M_{X} (t)$ em relação a $t$ e avaliar em $t = 0$ :

E (X) = M_{X}^{'} (0)

Calculando a derivada de $M_{X} (t)$ :

Seja

M_{X} (t) = \frac{p e^{t}}{1 - (1 - p) e^{t}}

Derivando com a regra do quociente:

M_{X}^{'} (t) = \frac{[p e^{t}] [1 - (1 - p) e^{t}] + [p e^{t} (1 - p) e^{t}]}{[1 - (1 - p) e^{t}]^{2}}

Simplificando e substituindo $t = 0$ :

M_{X}^{'} (0) = \frac{p}{(1 - (1 - p))^{2}} = \frac{p}{p^{2}} = \frac{1}{p}

Portanto, como esperado:

E (X) = \frac{1}{p}

Observações Finais

A distribuição geométrica é sem memória, ou seja, a probabilidade de obter um sucesso nos próximos ensaios não depende de quantos fracassos já ocorreram. Formalmente:

P (X > m + n ∣ X > m) = P (X > n)

Essa propriedade a torna especialmente útil em processos de espera e em modelagens com tempo até o primeiro evento, principalmente quando os eventos são independentes e ocorrem com a mesma probabilidade.