Distribuição Hipergeométrica

A distribuição hipergeométrica é uma distribuição de probabilidade discreta que descreve o número de sucessos em um conjunto finito de experimentos sem reposição. É frequentemente usada quando se tem um total fixo de itens e se deseja saber a probabilidade de obter um certo número desses itens.

Definição

Considere um conjunto com $N$ elementos, onde $K$ são considerados "sucessos" (ou itens desejados) e $N - K$ são "fracassos". Se realizarmos uma amostragem sem reposição de tamanho $n$ , a distribuição hipergeométrica fornece a probabilidade de obter exatamente $k$ sucessos.

Fórmula

A função de probabilidade da distribuição hipergeométrica é dada por:

P (X = k) = \frac{(\binom{K}{k}) (\binom{N - K}{n - k})}{(\binom{N}{n})}

onde:

$X$ é a variável aleatória que representa o número de sucessos.
$N$ é o tamanho total da população.
$K$ é o número de itens desejados na população.
$n$ é o tamanho da amostra.
$k$ é o número de sucessos observado.

Exemplo

Suponha que temos uma urna com 50 bolas, sendo 20 vermelhas (sucessos) e 30 brancas (fracassos). Se tirarmos uma amostra de tamanho 10 sem reposição, qual é a probabilidade de obtermos exatamente 4 bolas vermelhas?

$N = 50$
$K = 20$
$n = 10$
$k = 4$

A probabilidade é calculada como:

P (X = 4) = \frac{(\binom{20}{4}) (\binom{30}{6})}{(\binom{50}{10})}

Características Principais

Sem Reposição: A amostragem é feita sem reposição, o que significa que uma vez que um item é selecionado, ele não pode ser escolhido novamente.
População Finita: O tamanho da população $N$ é finito e conhecido.
Sucessos e Fracassos: A amostragem envolve apenas dois tipos de resultados: sucessos (desejados) e fracassos (não desejados).

Aplicações

A distribuição hipergeométrica tem várias aplicações práticas, como:

Estatística Médica: Avaliar a probabilidade de encontrar um certo número de pacientes com uma certa condição em um estudo.
Estatística Industrial: Verificar a qualidade de lotes de produtos.
Ciência da Computação: Análise de amostras em bancos de dados.