Distribuição Poisson

A distribuição Poisson é uma importante distribuição de probabilidade discreta que descreve o número de eventos ocorridos em um intervalo de tempo ou espaço, dado que esses eventos ocorrem com uma taxa constante e independentemente do tempo desde o último evento. Esta distribuição é frequentemente utilizada para modelar fenômenos como a chegada de clientes em um estabelecimento comercial, a ocorrência de defeitos em um processo industrial, ou até mesmo a quantidade de chuva caindo em uma área durante um determinado período.

Definição e Parâmetros

A distribuição Poisson é definida por uma única parâmetro, que é a taxa média (ou taxa esperada) de ocorrência do evento no intervalo considerado. Denotamos esta taxa por $λ > 0$ . A função de probabilidade da distribuição Poisson para um número inteiro $k \geq 0$ é dada pela expressão:

P (X = k) = \frac{λ^{k} e^{- λ}}{k!}

Aqui, $X$ representa a variável aleatória que segue a distribuição Poisson.

Exemplos de Aplicações

Chamadas Telefônicas em um Call Center: Suponha que o número médio de chamadas telefônicas recebidas por minuto é $λ = 5$ . A probabilidade de receber exatamente $k$ chamadas no próximo minuto pode ser calculada usando a distribuição Poisson.
Defeitos em um Processo Industrial: Considere que o número médio de defeitos em uma linha de produção por hora é $λ = 3$ . A probabilidade de ocorrerem exatamente $k$ defeitos em uma hora pode ser determinada usando a distribuição Poisson.

Função de Probabilidade

A função de probabilidade da distribuição Poisson é:

P (X = k) = \frac{λ^{k} e^{- λ}}{k!}

onde:

$X$ é a variável aleatória que segue a distribuição Poisson.
$λ > 0$ é a taxa média de ocorrência do evento no intervalo considerado.
$k \geq 0$ é um número inteiro representando o número de eventos.

Função de Distribuição Cumulativa

A função de distribuição cumulativa (FDC) da distribuição Poisson, que denotamos por $F (k)$ , é a probabilidade de que o número de eventos seja menor ou igual a $k$ :

F (k) = P (X \leq k) = \sum_{i = 0}^{k} \frac{λ^{i} e^{- λ}}{i!}

Exemplo de Cálculo

Suponha que $λ = 4$ . A probabilidade de ocorrerem exatamente $3$ eventos (por exemplo, defeitos em uma linha de produção) é:

P (X = 3) = \frac{4^{3} e^{- 4}}{3!} = \frac{64 e^{- 4}}{6} \approx 0.1956

Média e Variância

A média (esperança matemática) da distribuição Poisson é igual ao seu parâmetro $λ$ :

E [X] = λ

A variação (variância) também é igual a $λ$ :

Var (X) = λ